Таянч сўз ва иборалар:бир жинсли бўлмаган тенглама, ўзгармасни варициялаш усули
Ушбу тенглама берилган бўлсин.
(1)
Бу тенгламани номаoлум коэффициентлар усулида ечишни кўриб чиқамиз. Аввало (1) тенгламага мос бир жинсли
тенгламани I бандда кўрсатилган усулда ечиб умумий ечимини топиб оламиз. Сўнг ҳусусий ечимини қидирамиз. Агар тенгламани ўнг томонини махсус кўринишга эга бўлса, у ҳолда (1) тенгламани хусусий ечимини номаoлум коэффициентлар усулида топиш мумкин. Баъзи ҳолларни кўриб ўтамиз:
а) кўринишда бўлса ва агар (1) тенгламани характеристик тенгламасини ечими бўлмаса ,
у холда хусусий ечим
(2)
кўринишда қидирилади, агар характеристик тенгламасининг каррали илдизи бўлса
(3)
кўринишда қидирилади,. Бунда - номаoлум ўзгармас сонлар . (2) ёки (3) кўпхадни номаoлум коэффициентларини топиш учун уларни ифодаларини (1) тенгламага қўйиб тенгликни ҳар иккала томонидаги ўхшаш ҳадларнинг коэффициентларини тенглаш лозим. Булардан ҳосил бўлган алгебраик тенгламалар системасини ечиб номаoлум коэффициентлар топилади. Сўнг мос ҳолда (2) ёки (3) ифодаларга қўйиб хусусий ечимини кўриниши аниқланади.
(1) тенгламани умумий ечимини эса кўринишда ифодаланади. Бу ерда - (1) тенгламага мос бир жинсли тенгламани умумий ечими.
Б) кўринишда бўлса хусусий ечимни
(4)
кўринишда қидирилади. Бунда бўлиб ва - номаoлум коэффициентли -тартибли кўпҳадлар. Бу кўпхадларни коэффициентларини топиш учун (4) ни (1) га қўйиб юқоридаги каби мос ҳадларнинг коэффициентларини тенглаштирилади.
Бунда агар характеристик тенгламанинг илдизи бўлмаса, агар характеристик тенгламани илдизи бўлса, у ҳолда - уни карралигини билдиради.
Эслатма. Агар (1) тенгламани ўнг томони функция турли кўринишдаги бир нечта функцияларнинг йиғиндисидан иборат бўлса, у ҳолда тенглама ўнг томондаги функцияларга алоҳида-алоҳида тенглаб олинади ва ҳар бири ечилади. Умумий кўринишдаги хусусий ечим ҳар бир тенглама ҳусусий ечимлари йиғиндиси сифатида олинади.
1-мисол. Тенгламанинг умумий ечимини топинг.
(5)
Ечиш. Тенгламани характеристик тенгламаси
бўлиб, илдизлари сонларга тенг. Берилган тенгламага мос бир жинсли
тенгламани умумий ечими кўринишда бўлади. Бу тенгламада бўлиб, характеристик тенгламани илдизи эмас . Шунинг учун хусусий ечимни
(6)
(иккинчи тартибли кўпхад) кўринишида қидирамиз. - сонлар ҳозирча номаoлум. (6) ифодани (5) тенгламага қўйиб
Бу системани ечиб эканлигини топамиз. Бу сонларни (6) га қўйиб
эканлигини ҳосил қиламиз. (5) тенгламани умумий ечими
кўринишда бўлади.
2-мисол. Тенгламани ечинг.
.
Ечиш. Характеристик тенгламаси ва илдизлари . Бир жинсли тенгламани умумий ечими
.
Бу тенгламадаги бўлиб ҳарактеристик тенгламани 2 каррали илдизи . Демак, хусусий ечим кўриниши (3) га кўра
(7)
кўринишда қидирилади. (7) ни тенгламага қўйиб 1-мисолдаги каби ушбу системани ҳосил қиламиз
кўринишда бўлиб, берилган тенгламани умумий ечими
.
3-мисол. Тенгламанинг умумий ечимини топинг.
.
Ечиш. Юқорида берилган эслатмага кўра бу тенглама қуйидаги 2 та тенгламага эквивалент:
Бу тенгламаларни хусусий ечимларини юқорида кўрсатилган усулда топишни ўқувчига қолдириб, умумий ечимни кўринишини ёзамиз
.
Энди (1) тенгламани ечимини ўзгармасни вариациялаш усулида ечиш билан танишамиз. Бунинг учун аввало (1) тенгламага мос
(8)
бир жинсли тенгламани ечиб, чизиқли эркли ечимларни топамиз. Фараз қилайлик функциялар (8) ни чизиқли эркли ечимлари бўлсин. У ҳолда умумий ечим
бўлиб, (1) тенгламани хусусий ечимини
(9)
кўринишда қидирамиз. Бунда -ҳозирча номаoлум функциялар. Уларни топиш учун қуйидаги системани тузамиз
(10)
Бу системани ларга нисбатан ечиб, кўринишдаги тенгламаларни оламиз. Улардан топиб (9) га қўйиб умумий ечимни ҳосил қиламиз.
4-мисол. Тенгламани ечинг.
.
Ечиш. Берилган тенгламага мос бир жинсли тенгламани ечамиз. Ҳарактеристик тенгламаси бўлиб илдизларга эга. Умумий ечим функция бўлади. Берилган тенгламани ечимини кўринишда излаймиз. (10) система ушбу кўринишда бўлади.
Системани ечиб ва тенгламаларни ёки интеграллаб ифодаларни топамиз. Улардан фойдаланиб умумий ечимни қуйидагича ёзамиз
.
Назорат саволлари Чизиқли бир жинсли бўлмаган тенглама умумий ечими қандай аниқланади?
