Ravshanki, bu determinant y ga nisbatan p maydon ustida ko’phadni ifodalaydi

Ravshanki , bu determinant y ga nisbatan P maydon ustida ko’phadni ifodalaydi .
2-teorema . Agar (1) Sistema va yechimga ega bo’lsa qiymat tenglama uchun ildiz bo’ladi . Aksincha tenglamaning ildizi uchun va tengsizliklardan aqalli bittasi bajarilsa , (1) Sistema va ega bo’ladi .
Isboti . 1. Faraz qilaylik , (1) Sistema va dan iborat yechimga ega bo’lsin . Agar qiymatni (2) ko’phadlarga qo’ysak , x ga nisbatan quyidagi ko’phadlar hosil bo’ladi .





Bu ko’phadlarning rezultanti va yechimi borligini ko’rstadi.

Agar ning ildizi uchun va bo’lib qolsa , (1) Sistema yyechimga ega bo’lishi, va shuningdek , bo’lmasligi ham mumkin. Buni aniqlash uchun

bo’ladi . Yuqoridagi (4) ko’phadlar umumiy ildizga ega bo’lgani uchun 1- teoremaga asosan ularning rezultanti no’lga teng . Ya’ni . Shunday qilib son tenglama uchun ildizlar .

II. Aksincha , son tenglamaning ildizlaridan biri bo’lsin va bu ildiz uchun va tengsizliklarning aqalli bittasi bajarilsin . Boshqacha aytganda , (4) ko’phadlarning rezultanti no’lga teng . Demak birinchi teoremaga muvofiq , (4) ko’phadlar , ya’ni va umumiy ildizga ega ;

Bu esa (1) sistemaning , yechimi borligini ko’rsatadi.

Agar ning ildizi uchun bo’lib qolsa , (1) Sistema yechimga ega bo’lishi , va shuningdek , bo’lmasligi ham mumkin. Buni aniqlash uchun , shartini qanoatlantiruvchi har bir sonini alihida tekshirib quyish lozim.

Misollar. 1

Sistemani yechaylik. Ikkala tenglama y ga nisbatan birinchi darajali bo’lgani uchun sistemaan y ni chiqarib x ga nisbatan bitta tenglamaga kelish qulayroq.Shu masalada sistemani

Korinishda yozib,

rezultantni tuzamiz . Determinantni hisoblab, quyidagi tenhlamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning ildizi uchun

Shu sababli (5) dan k=0 qiymatda hosil bo’ladigan

sistema umumiy ildizga ega . Demak , (2) sistemaning yechimlaridan biri x=0 , y=3/2 .

(6) tenglamaning ildizi uchun va . Demak , (6) dan va hosil bo’lib , bu sistema umummy ildizga ega emas (umuman mumkin bo’lmagan tenglik ). Nihoyat , (7) tenglamaning ildizi uchun va . Demak (15) dan qiymatda hosil bo’ladigan

sistema umumiy ildizga ega. Shunday qilib, sistemaning ikkinchi yechimi , .

2.

sistemaning yechaylik. Buning uchun sistemani

shaklda yozib,

tenglamani tuzamiz va uni yechib, ildizni topamiz. Bu qiymatda va bo`lib (8) dan

Bundan . Berilgan sistema uchun , yechimdir.

O`N OLTINCHI BOB

KOMPLEKS VA HAQIQIY SONLAR MAYDONI USTIDA BERILGAN KO`PHADLAR

171- . Ko`phad bosh hadining moduli

Biz bu bobda algebraning asosiy teoremasi deb ataluvchi teoremaning isbotini va uning turli tatbiqlarini ko`rib o`tamiz. Buning uchun avvalo lemmani ko`rib o`tamiz.

Ko`phad bosh hadining moduli haqidagi lemma. Kompleks sonlar maydoni ustida darajali

(1)

ko`phad va ixtiyoriy musbat haqiqiy son berilgan bo`lsa, moduli yetarlicha katta bo`lgan noma’lum uchun

tengsizlik o`rinli bo`ladi.

I s b o t i. faraz qilaylik. bo`lsin.

(3)

Lemma shartiga asosan ni yetarlicha katta deb olish mumkin.

Shuning uchun >1 deb faraz qilsak,

(4)

(3) va (4) dan

< (5)