Qator. Qatorning yig’indisi geometrik qator. Qatorlarning xossasi. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti

“Qator. Qatorning yig’indisi geometrik qator. Qatorlarning xossasi. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti” mavzusi bo‘yicha tarqatma material

1. 
   Sonli qatorlar
   

Umumiy tushunchalar. Quyidagi cheksiz sonli ketma-ketlik berilgan bo’lsin:

1-ta’rif. Ushbu
(1)
ifodaga cheksiz sonli qator yoki qisqacha sonli qator deyiladi. sonlarga qatorning hadlari deyiladi.
(1) qator qisqacha qilib yig’indi belgisi orqali ushbu ko’rinishda yoziladi:
.
Qatorning chekli sondagi hadlari yig’indisini tuzamiz:

(2)
. . . . . . . . . . . . . .

(2) ga qatorning xususiy yig’indilari deyiladi. Xususiy yig’indilardan tuzilgan ushbu ketma-ketlikni ko’ramiz:
(3)
2-ta’rif. Agar limit mavjud bo’lib, hamda u chekli bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
Agar (3) ketma-ketlik limitga ega bo’lmasa yoki cheksizga teng bo’lsa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi va u yig’indiga ega bo’lmaydi.
1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:
(4)
Yechish. Bu qator geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan qatordir. Agar bo’lsa,

bo’ladi.
Bundan

deb yozish mumkin.
Agar bo’lsa,

bo’ladi. Bu holda (4) qator yaqinlashuvchi bo’ladi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
Agar bo’lsa, ushbu qatorni hosil qilamiz
.
Demak, , , u holda (4) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar bo’lganda da bo’ladi. Shuning uchun bo’ladi. Shunday qilib, bo’lganda (4) qator uzoqlashuvchidir.
Demak, da (4) yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi ekan.
2-misol. Quyidagi qatorni yaqinlashishga tekshiring:
.
Yechish. ekanligi ravshandir.
.
Demak, qator yaqinlashuvchi.


2. Qatorlarning asosiy xossalari.


Ushbu qator
(1)
Agar (1) qatordagi hadlaridan chekli sondagi ta hadini tashlab yuborilsa, u holda ushbu qatorni hosil qilamiz:
. (2)
Bu (1) qatorning - qoldiq hadi deyiladi va deb belgilanadi.
1-xossa. (2) qator (1) qator bilan bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.
Isbot. (2) qatorni deb belgilaymiz.
.
Bundan
. (3)
Faraz qilaylik (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin, ya’ni

.
Bundan (1) qatorning - qoldiq hadi ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
2-xossa. Qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish uning yaqinlashishiga ta’sir etmaydi.
Isbot. Faraz qilaylik (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. Bu holda 1-xossaga asosan (2) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, uning yig’indisi mavjud bo’ladi.
Tashlab yuborilgan ta hadlar yig’indisini , qolgan hadlar yig’indisini bilan belgilaymiz. Bu holda quyidagi tenglik hosil bo’ladi:
. (4)
. (5)
Shartga ko’ra (1) qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun , esa ga bog’liq emas, demak, u o’zgarmas son. Natijada (8) ning o’ng tomonida limit ham mavjud bo’ladi, ya’ni
.
Demak, agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, tashlab yuborilgandan qolgan qator ham yaqinlashuvchi ekan.
3-xossa. Yaqinlashuvchi qatorning -qoldiq hadining dagi limiti nolga teng bo’ladi.
4-xossa. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib va uning yig’indisi ga teng bo’lsa, u holda
(6)
qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi, bu yerda - ixtiyoriy son.
Isbot. va lar (1) va (6) qatorlarning mos ravishda xususiy yig’indilari bo’lsin. Bu holda
.
Bundan
.
5-xossa. Agar
(7)
va
(8)
qatorlar yaqinlashuvchi bo’lib, ularning yig’indilari va bo’lsa, u holda
(9)
qator ham yaqinlashuvchi, hamda uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik (7), (8) va (9) qatorlarning yig’indisi mos ravishda , va bo’lsin. U holda
.
.
1-eslatma. 5-xossaning shartiga ko’ra

qator yaqinlashuvchi, hamda uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
2-eslatma. Agar (1) qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’lsa, u holda qatorning istalgan hadlarining o’rnini almashtirmasdan guruhlash mumkin bo’ladi, masalan
.
Hosil bo’lgan yangi qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi.


3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti


Teorema. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda da - hadining limiti nolga intiladi, ya’ni
.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra (1) qator yaqinlashuvchi, demak, va oxirgi ikki tenglikni bir-biridan ayiramiz
.
Bundan bo’lgani uchun

ekanligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Agar (1) qatorning - hadi da nolga intilmasa, u holda qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot qilingan teoremaning teskarisi har doim ham to’g’ri bo’lavermaydi, ya’ni qatorning -hadini nolga intilishidan uning yaqinlashuvchiligi kelib chiqmaydi.
Misol tariqasida garmonik qator deb ataluvchi quyidagi qatorni ko’raylik:
. (1)

bo’lgani bilan, bu qator uzoqlashuvchidir. Buni isbot qilish uchun (1) qatorning ko’proq hadlarini ko’rib chiqaylik.
.
Bu qatorning birinchi ta hadini olib, bu hadlarni quyidagi ko’rinishda gruppalaymiz:

.
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . .


tengsizliklar o’rinlidir.
Shunday qilib, har bir qavs ichidagi hadlar yig’indisi dan katta. Qavslarning soni birinchi ikkita hadni hisobga olmaganda ga teng bo’lgani uchun
.
Agar yig’indida hadlar soni katta bo’lib borsa, ham katta bo’lib boradi. Shuning uchun . Demak (1) garmonik qator uzoqlashuvchidir.
1. Musbat hadli qatorlar


Ta’rif. Hadlari manfiy bo’lmagan qatorlarga musbat hadli qatorlar deyiladi.
Ushbu musbat hadli qator berilgan bo’lsin:
. (1)
Bu yerda . U holda

ekanligi ravshandir, ya’ni ketma-ketlik kamaymaydigan. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
1-teorema. (1) musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun bu qatorning xususiy yig’indilaridan tuzilgan ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidir.
Musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi teoremalarni keltiramiz,
2-teorema. Quyidagi ikkita musbat hadli qatorlar berilgan bo’lsin:
(2)
. (3)
(2) qatorning hadlari (3) qatorning mos hadlaridan katta bo’lmasa, ya’ni
(4)
hamda (3) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (2) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. (2) va (3) qatorlarning xususiy yig’indilarini mos ravishda va deb belgilaymiz. (4) dan

tengsizlikni yozish mumkin.
Agar (3) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda 1-teoremaga asosan (2) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Chunki shart bo’yicha
.
Demak, bo’ladi.
Teorema isbot bo’ladi.
Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Yuqorida biz

qatorning yaqinlashuvchiligini ko’rsatgan edik. Berilgan qatorni shu qator bilan solishtiramiz
.
2-teoremaga asosan berilgan qator yaqinlashuvchidir.
3-teorema. Quyidagi ikkita musbat hadli qatorlar berilgan bo’lsin:
(2)
. (3)
(2) qatorning hadlari (3) qatorning mos hadlaridan kichik bo’lmasa, ya’ni
(5)
hamda (3) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (2) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Yana (2) va (3) qatorlarning xususiy yig’indilarini mos ravishda va deb belgilaymiz. (5) tengsizlikdan bo’lishi kelib chiqadi. (3) qator uzoqlashuvchi hamda uning xususiy yig’indilari o’suvchi bo’lgani uchun

bo’ladi. Natijada bo’ladi.
Demak, (2) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Qatorlarni taqqoslash teoremalaridan foydalanishda qatorlarni taqqoslash uchun yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi ma’lum bo’lgan qatorlarni olish kerak bo’ladi.
Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. berilgan qatorning umumiy hadi. Uni bilan solishtiramiz
.
garmonik qator bo’lib, u uzoqlashuvchidir. Demak, 3-teoremaga asosan berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.


2. Dalamber alomati


Quyidagi musbat hadli qator berilgan bo’lsin:
. (1)
Teorema. Agar (1) qator -hadining - hadiga nisbati da chekli limitga ega bo’lib, ya’ni

bo’lsa, u holda agar:
1) bo’lsa (1) qator yaqinlashuvchi
2) bo’lsa (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. 1) Ketma-ketlikning ta’rifiga asosan soni uchun shunday sonini topish mumkin bo’lsaki, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

yoki
(2)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Agar bo’lsa, ni shunday tanlaymizki birdan kichik bo’lsin. (2) tengsizlikning o’ng tomonini deb olamiz va quyidagi tengsizlikni yozamiz:

yoki
.
qiymatlarni oxirgi tengsizlikka qo’yib quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz:



. . . . . . . . . . ..
Demak,

qatorning hadlari yaqinlashuvchi bo’lgan

qatorning hadlaridan kichikdir. U holda taqqoslash xaqidagi 2-teoremaga asosan qator yaqinlashuvchidir.
2) Endi bo’lsin. ni juda kichik qilib olamizki, bunda bo’lsin. Bu holda (2) ning o’ng tomoni bo’lganda

yoki

bo’ladi. Shunday qilib, (1) qatorning dan boshlab ortishi bilan hadlari o’sib boradi. (1) ning umumiy hadi da nolga intilmaydi. Demak, qator uzoqlashuvchidir.
Teorema isbot bo’ldi.
1-eslatma. Agar bo’lsa, teorema qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlab bermaydi.
2-eslatma. bo’lsa, (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi. dan boshlab, bo’ladi. Demak, da nolga intilmaydi.
1-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. ,
.
Demak, berilgan qator bo’lgani uchun yaqinlashuvchidir.
2-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. ,
.
Demak, berilgan qator bo’lgani uchun uzoqlashuvchi ekan.


3. Koshi alomati


Ushbu musbat hadli qator berilgan bo’lsin.
(1)
Teorema. Agar da miqdorning limiti mavjud bo’lib, ya’ni
(2)
bo’lsa, bu holda agar:
1) bo’lsa qator yaqinlashuvchi,
2) bo’lsa qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. 1) bo’lsin. tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini qaraylik.
(2) shartga ko’ra qiymatdan boshlab

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan yoki tengsizlikni yozish mumkin.
Umumiy hadi bo’lgan geometrik qator yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki . Taqqoslash haqidagi 2-teoremasiga asosan berilgan (1) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
2) bo’lsin. Bu holda ning biror qiymatidan boshlab

yoki

o’rinli bo’ladi. (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki uning umumiy hadi nolga intilmaydi.
Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Bu yerda ham bo’lsa, Koshi alomati qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlamaydi.
1-misol. qatorni Koshi alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. .
.
Demak, bo’lgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi.
2-misol. qatorni Koshi alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. .
.
Berilgan qator bo’lgani uchun uzoqlashuvchi bo’ladi.


4. Koshining integral alomati


Quyidagi musbat hadli qator berilgan bo’lsin:
(1)
Teorema. (1) qatorning hadlari monoton kamayuvchi bo’lib, ya’ni va
(2)
xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) qator ham yaqinlashuvchi, (2) integral uzoqlashuvchi bo’lsa, (1) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi, bu yerda bo’lganda uzluksiz va musbat.
Isbot. Yuqoridan funksiyaning grafigi va asosi
o’qidagi dan gacha bo’lgan kesma bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyani qaraymiz (1-rasm)



1-rasm.
Asosi kesmalardan iborat bo’lgan tashqi va ichki to’g’ri to’rtburchaklarni chizamiz. Aniq integralning geometrik ma’nosini e’tiborga olib, quyidagi tengsizlikni yozamiz:
yoki

yoki
. (3)
1-hol. xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsin, ya’ni bo’lgani uchun, hamda (3) tengsizlikni e’tiborga olib, , ya’ni tengsizltkni yozish mumkin. Bundan xususiy yig’indilar ketma-ketligi monoton o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lgani uchun, limitning mavjudligi haqidagi teoremaga asosan limiti mavjud bo’ladi.
Demak, (1) qator yaqinlashuvchi.
2-hol. xosmas integral uzoqlashuvchi bo’lsin. Bu holda bo’ladi va da chegaralanmagan o’suvchi bo’ladi.
e’tiborga olgan holda da kelib chiqadi. Demak, (1) qator uzoqlashuvchi.
Yechish. integralning o’rniga integralni olish mumkin, bu yerda . (1) qatorning ta birinchi hadlarini tashlab yuborish uning yaqinlashishi yoki uzoqlashishiga ta’sir etmaydi.
Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. .
.
Xosmas integral yaqinlashuvchi, demak, berilgan qator ham yaqinlashuvchidir.
1. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar


Ta’rif. Quyidagi qatorga
(1)
ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi, bu yerda .
1-teorema. (Leybnis teoremasi). Agar (1) qator hadlarining absolyut qiymatlari monoton kamayuvchi ketma-ketlik, ya’ni
(2)
bo’lib va
(3)
bo’lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi musbat bo’ladi va birinchi hadidan katta bo’lmaydi.
Isbot. Qatorning xususiy yig’indisini quyidagi ko’rinishda yozib olaylik:
(4)
. (5)
(4) va (5) xususiy yig’indilarning har bir qavs ichidagi ifoda (2) shartga asosan musbatdir. (4) dan ekanligi kelib chiqadi. ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’ladi. (5) dan , ya’ni ketma-ketlik chegaralanganligi ravshandir. Demak, bu ketma-ketlik chekli limitga ega, ya’ni
(6)
bunda . (6) va (3) larni e’tiborga olgan holda
. (7)
(6) va (7) lardan

kelib chiqadi. Bundan (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.
1-misol. qatorning yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlari monoton kamayuvchi ketma-ketlikni tashkil qiladi.
Shuningdek, .
Demak, Leybnis teoremasining shartlari bajarilganligi sababli berilgan qator yaqinlashuvchidir.
2-teorema. (1) ishoralari navbatlashuvchi qatorning qoldig’i Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun o’zining birinchi hadining ishorasi bilan bir xil va absolyut qiymat bo’yicha birinchi hadidan kichik bo’ladi.
Isbot. Agar juft bo’lsa, u holda
.
Bu qator Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun

bo’ladi. Bu tengsizlikdan

kelib chiqadi.
Agar toq bo’lsa,
.
Bundan

bo’ladi.
.
Tengsizlikka asosan

bo’ladi. Demak, va o’rinli bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
Misol. 0,1 aniqlik bilan yaqinlashuvchi qatorning yig’indisini hisoblang.
Yechish. Qatorning xususiy yig’indisi , uning taqribiy yig’indisi bo’lsin.
, teoremaga asosan . Demak, deb olish kerak
.


2. O’zgaruvchan ishorali qatorlar. Absolyut va shartli yaqinlashish


Biz 8-§ paragrafda ishoralari navbatlashuvchi bo’lgan qatorlarni ko’rib chiqdik. Bu paragrafda umumiyroq bo’lgan hol o’zgaruvchan ishorali qatorlarni ko’rib chiqamiz.
Agar qatorning hadlari orasida bir nechta musbat va bir nechta manfiy hadlari bo’lsa, bunday qatorlarga o’zgaruvchan ishorali qatorlar deyiladi.
O’zgaruvchan ishorali qator yaqinlashishni tekshirishda muhim bo’lgan yetarli shartini o’rganamiz.
Teorema. O’zgaruvchi ishorali qator
(1)
hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(2)
qator yaqinlashsa, u holda (1) qator ham yaqinlashadi.
Isbot. (1) va (2) qatorning xususiy yig’indilarini mos ravishda va lar bilan belgilaymiz. (1) qatorning ta musbat hadining yig’indisini , manfiylarini esa deb belgilaymiz.
U holda , . Lekin 2-teorema shartiga ko’ra (2) qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun
.
Bundan
.
Natijada

bo’ladi. Bu esa (1) qatorning yaqinlashuvchiligini ko’rsatadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremadan o’zgaruvchi ishorali qatorni yaqinlashishga tekshirish musbat hadli qatorni tekshirishga keladi.
1-ta’rif. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qatorni absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
2-ta’rif. (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, (2) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorning absolyut qiymatlarilan tuzilgan qatorni qaraylik
.
Bu qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo’lib, uning mahraji bo’lgani uchun yaqinlashuvchidir. Ikkinchi tomondan qatorning o’zi Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun yaqinlashuvchi. Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
2-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator garmonik qator bo’lgani uchun uzoqlashuvchi bo’ladi. Lekin Leybnis teoremasiga asosan bu qator yaqinlashuvchidir, ya’ni

va
.
Demak, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi ekan.
. Darajali qatorlar va ularning yaqinlashish sohasi


Ta’rif. Quyidagi funksional qatorga darajali qator deyiladi:
, (1)
bu yerda - haqiqiy o’zgarmas sonlar. Bu sonlarni darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Darajali qator funksional qatorning xususiy holidir.
1. Har qanday darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi va shu nuqtada uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
2. Faqat nuqtada yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar mavjuddir. Masalan
. (2)
Haqiqatan ixtiyoriy son bo’lsin. Bu holda da ning biror qiymatidan boshlab miqdor tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, qatorning umumiy hadi tengsizlikni qanoatlantiradi.
da miqdor cheksiz kattalashgani uchun ham cheksiz kattalashadi. Bu holda
(3)
qator ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bo’ladi.
3. oraliqning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar ham mavjuddir.
Misol sifatida quyidagi qatorni ko’ramiz:
(4)
sonlar o’qining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin . orta borgani uchun shunday soni topiladiki barcha lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda (4) qatorni yaqinlashuvchi bo’lgan
(5)
qator bilan solishtirib (4) qatorni ixtiyoriy nuqtada absolyut yaqinlashuvchiligiga ishonch hosil qilish mumkin.

4. 
   ning biror qiymatlarida yaqinlashuvchi va boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’lgan darajali qatorlar ham mavjud. Masalan, ushbu qator berilgan bo’lsin
   

(6)
Bu qator bo’lganda bo’ladi. Bunda berilgan qatorning mahraji bo’lgan geometrik progressiyadir.
Demak, qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki geometrik progressiyaning mahraji tengsizlikni qanoatlantiradi.
bo’lganda berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki geometrik progressiyaning mahraji tengsizlikni qanoatlantiradi.
Shunday qilib, (6) qator bo’lganda yaqinlashuvchi va da esa uzoqlashuvchi ekan. Demak, (6) qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat ekan.
Ixtiyoriy darajali qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaydigan teoremani keltiramiz.
Abel teoremasi. 1) Agar (1) darajali qator biror nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda tengsizlikni qanoatlantaruvchi ning barcha qiymatlarida (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
2) Agar (1) qator nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsa, bu holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlarida (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik nuqtada (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda
(7)
sonli qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, bu qatorning umumiy hadi da nolga intiladi, ya’ni
.
Bundan miqdorni chegaralanganligi kelib chiqadi, ya’ni shunday soni topiladiki, ixtiyoriy uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Berilgan (1) qatorni ushbu ko’rinishda yozamiz
.
Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni ko’raylik
.
desak, bo’lganda (1) qatorning umumiy hadi ushbu tengsizlikni qanoatlantiradi:

Lekin

qatorning mahraji bo’lganda yaqinlashuvchi geometrik progressiyadir. (1) qator bilan bu progressiyani solishtirsak, (1) qatorni ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi, bu yerda .
2) Endi teoremaning ikkinchi qismini isbot qilamiz.
Faraz qilaylik, berilgan qator nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda bu qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda uzoqlashadi.
Haqiqatda, bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada qator yaqinlashsa, u holda teoremaning isbot qilingan birinchi qismiga asosan tengsizlik o’rinli bo’lgani uchun, qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’lishi kerak edi. Lekin bu nuqtada qator uzoqlashadi degan shartga qarama-qarshi bo’ladi. Demak, qator nuqtada uzoqlashadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Abel teoremasidan kelib chiqadigan ayrim natijalarni ta’riflaymiz.
1-natija. Agar qator yaqinlashish nuqtasi bo’lsa, u holda oraliqning barcha nuqtalarida qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
2-natija. Har bir darajali qator uchun quyidagi xossalarga ega bo’lgan aniq soni mavjud bo’ladi:
a) (1) qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi;
b) ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bu soniga darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Xususiy holda, (1) qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashish radiusi bo’ladi.
Agar qator ning har qanday qiymatida yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashish radiusini deb olish qabul qilingan.
3-natija. (1) darajali qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat, bu yerda - yaqinlashish radiusi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekan. Oraliqning har bir chetki va nuqtalarida qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin. Shuning uchun qatorni bu nuqtalardagi yaqinlashishini alohida tekshirish kerak bo’ladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasini topish uchun Dalamber yoki Koshi alomatlaridan foydalaniladi.
Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni yozamiz
.
Bu qatorning hadini hadiga bo’lgan nisbatini ko’raylik
.
Bu yerda .
Dalamber alomatidan ma’lumki, agar bo’lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi va bo’lsa uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bundan (1) qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi va da esa uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. Natijada
.
Demak, qatorning yaqinlashish radiusini quyidagi Dalamber alomati bo’yicha hisoblash mumkin:
.
Koshi alomatidan foydalanib qatorning yaqinlashish radiusini quyidagi formula yordamida ham hisoblash mumkin:
.
1-misol. qatorni yaqinlashish radiusi va yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. , .

Demak, . Dalamber alomatiga asosan bo’lganda qator yaqinlashuvchi va da uzoqlashuvchi bo’ladi. Yaqinlashish radiusi , yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat. Endi oraliqning chetki va nuqtalardagi yaqinlashishni tekshiramiz.
da quyidagi qator hosil bo’ladi:
.
Bu garmonik qatordir, demak, berilgan qator nuqtada uzoqlashuvchi.
da

qator hosil bo’ladi. Bu qator Leybnis teoremasiga asosan shartli yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat.
2-misol. qatorning yaqinlashish radiusini toping.
Yechish. .
Demak, berilgan qator ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’ladi.


2. Darajali qatorlarning xossalari


1-teorema. Har qanday
, (1)
darajali qator oraliqqa tegishli kesmada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Shart bo’yicha . Shuning uchun

musbat hadli qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Bunda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, Veyershtrass alomatiga asosan (1) darajali qator kesmada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Qolgan xossalarni isbotsiz keltiramiz.
2-teorema. Agar (1) darajali qator oraliqda yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda uning yig’indisi shu oraliq ichida uzluksiz bo’ladi.
3-teorema. oraliqda yaqinlashuvchi bo’lgan darajali qatorni shu oraliqda hadma-had ixtiyoriy tartibli hosilasini olish mumkin, ya’ni

qatorning , , . . . , hosilalari mavjuddir. Bu yerda
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat bo’ladi.
4-teorema. oraliqda yaqinlashuvchi bo’lgan darajali qatorni shu oraliqda yotgan ixtiyoriy kesmada hadma-had integrallash mumkin.
bo’lsin. U holda

.
Qatorni hadma-had integrallashdan hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasi ham oraliqdan iborat bo’ladi.


3. ning darajalari bo’yicha qatorlar


Quyidagi ko’rinishdagi funksional qatorga ham darajali qator deyiladi:
. (1)
Bu yerdagi o’zgarmas sonlarga darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
(1) darajali qatorning yaqinlashish sohasini topish uchun almashtirish kiritamiz. Natijada, quyidagi darajali qator hosil bo’ladi:
, (2)
(2) qator ham darajali qatordir, u faqat ning darajalari bo’yicha yoyilgan.
(2) qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat, ya’ni . Bundan ning yoki tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
bo’lganda (2) qator uzoqlashuvchi bo’lgani uchun, bo’lganda (1) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi. Demak, oraliqdan tashqarida uzoqlashuvchi, oraliqda esa qator yaqinlashuvchidir.
Bundan (1) qatorning yaqinlashish oralig’i markazi nuqtada bo’lgan oraliqdan iborat bo’ladi.
, (3)
darajali qatorning yaqinlashish oralig’i ichida barcha xossalari (1) darajali qator uchun yaqinlashish oralig’i ichida saqlanadi.
Agar integrallash chegaralari yaqinlashish oralig’i ichida yotsa (1) darajali qatorni hadma-had integrallashdan so’ng yig’indisi berilgan (1) qatorning yig’indisidan olingan integralga teng bo’lgan qator hosil bo’ladi. ning yaqinlashish oralig’i ichida yotuvchi hamma qiymatlari uchun (1) darajali qatorni hadma-had differensiallashdan, yig’indisi berilgan (1) qatorning yig’indisidan olingan hosilasiga teng bo’lgan qator hosil bo’ladi.
Misol. qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. deb olamiz. U holda

qator hosil bo’ladi.
Bu qator oraliqda yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan qator ning , ya’ni tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida yaqinlashadi.


4. Teylor va Makloren qatorlari


Agar funksiya
. (1)
qatorning yig’indisi bo’lsa, u holda funksiya ning darajalari bo’yicha qatorga yoyiladi deyish mumkin.
1-teorema. Agar funksiyani oraliqda
(2)
qatorga yoyish mumkin bo’lsa, u holda bunday yoyilma yagona bo’ladi.
Isbot. Darajali qatorni hadma-had differensiallash haqidagi teoremaga asosan quyidagi ifodalarni yozish mumkin:

,

,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Bu tengliklarga hamda (2) ga ni qo’yib noma’lum koeffitsientlarni topamiz.
, , , , . . .,

yoki
, , ,
, . . . , . (3)
Hosil bo’lgan koeffitsientlarni (2) qatorga qo’yib quyidagi qatorni hosil qilamiz:
(4)
(4) qatorni Teylor qatori deyiladi.
, , ,…
o’zgarmas sonlarga funksiyaning nuqtadagi Teylor qatorining koeffitsientlari deyiladi.
Shunday qilib, agar funksiyani ning darajalari bo’yicha yoyish mumkin bo’lsa, u holda bu qator albatta funksiyaning Teylor qatori bo’ladi.
Agar Teylor qatorida desak, u holda Teylor qatorining xususiy holi kelib chiqadi.
. (5)
(5) qatorga Makloren qatori deyiladi.
Yuqorida qilingan mulohazalar funksiyani darajali qatorga yoyish mumkin bo’lgandagina o’rinlidir.
Faraz qilaylik, funksiyani oraliqda ixtiyoriy tartibli hosilalri mavjud bo’lsin. U xolda shu oraliqqa tegishli ixtiyoriy ning qiymatlari va ixtiyoriy lar uchun Teylor formulasi o’rinli bo’ladi:
. (6)
Bu erda
. (7)
bu yerda .
(7) ga Teylor formulasining Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadi deyiladi.
Endi funksiya uchun tuzilgan
(8)
Teylor qatori oraliqda yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’lish shartini aniqlaymiz.

bo’lsin.
ko’phad qandaydir ma’noda funksiyaga yaqinlashishini anglaydi. Buning yordamida funksiyaning aniqlik darajasini aniqlash mumkin bo’ladi.
Bu holda

yoki

bo’ladi. (8) Teylor qatori oraliqda funksiyaga intilishi uchun Teylor formulasining qoldiq hadi da nolga intilishi kerak, ya’ni
.
Endi Teylor qatorining funksiyaga yaqinlashish tartibini aniqlaymiz.
2-teorema. Agar oraliqda funksiya ixtiyoriy tartibli hosilalarga ega bo’lib, hamda
(9)
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda shu oraliqda (4) yoyilma o’rinli bo’ladi.
Isbot.

va (9) lardan foydalanib, quyidagi tengsizlikni yozamiz:
(10)
Lekin

qator Dalamber alomatiga asosan yaqinlashuvchi bo’lgani uchun

bo’ladi. Bundan (10) ni e’tiborga olsak, oraliqda o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.


5. Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish


1. funksiyani Makloren qatoriga yoyish. Makloren qatorining koeffitsientlari

formula orqali ifodalanadi. Berilgan funksiyadan hosilalar olib, nuqtadagi qiymatlarini topamiz.
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Demak, . Natijada, funksiya uchun quyidagi qatorni hosil qilamiz:
. (1)
Bu qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaymiz.
.
Demak, (1) qator oraliqda yaqinlashuvchi ekan.
Endi ning har qanday qiymatida qatorning yig’indisi ga teng ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy lar uchun

ekanligini isbotlash yetarli bo’ladi.
4-§ paragrafdagi 2-teoremaga asosan (9) tengsizlik ixtiyoriy oraliqda o’rinli bo’ladi, chunki . Shuning uchun ning barcha qiymatlari uchun (1) yoyilma o’rinli bo’ladi.
2. funksiyani Makloren qatoriga yoyish. berilgan funksiyadan hosilalarini topamiz.

,
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
da , , , , va hokazo. Demak, , , , , , . . . , . Bundan bo’lganda , bo’lganda esa bo’lishi ravshandir. oraliqdagi barcha lar uchun tengsizlik o’rinlidir.
4-§ paragrafdagi 2-teoremaga asosan oraliqdagi barcha lar uchun quyidagi qator bo’ladi:
.
3. funksiya ham ning oraliqdagi barcha qiymatlari uchun quyidagi qator o’rinli bo’ladi:
.


6. Binomial qator


bo’lsin., bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son.
Teylor qatorining koeffitsientlarini aniqlash uchun funksiyaning hosilalarini topamiz.

,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bu hosilalarga qiymatni qo’yib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
, , , ...,
.
Endi Teylor qatorining koeffitsientlarini hisoblaymiz.
, , , . . . , .
U holda Teylor qatori quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
. (1)
Bu qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaymiz.
.
Demak (1) qator oraliqda yaqinlashuvchi ekan.
Endi (1) qatorning yig’indisi funksiyaga teng ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun uning yig’indisini deb belgilaymiz.

qatorni hadma-had differensiallaymiz.
(2)
(2) qatorni ga ko’paytirib, quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(3)
(2) bilan (3) ni hadma-had qo’shamiz.
(4)
(4) qatordagi koeffitsientlarni quyidagicha yozamiz:
.
U holda
ifoda hosil bo’ladi.
Natijada noma’lum funksiya va uning hosilasi bilan bog’langan quyidagi differensial tenglamani hosil qildik.
(5)
yoki
.
Bundan
.
Bu tenglamani integrallab, quyidagi yyechimni hosil qilamiz:
. (6)
Bu yerda topilishi kerak bo’lgan son. Buning uchun da shartni qo’yamiz. U holda . (6) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib,

tenglikni hosil qildik. Buni potensirlab, qidirilayotgan funksiyani topamiz.
.
Demak, (1) qatorning yig’indisi oldindan berilgan funksiyaga teng ekan.
Bu funksiyani oraliqda quyidagi qatorga yoyish mumkin ekan:
(7)
(7) darajali qatorga binomial qator deyiladi.
Xususiy holda agar bo’lsa
(8)
darajali qator hosil bo’ladi.
Agar bo’lsa quyidagi qatorga ega bo’lamiz:
. (9)
bo’lganda

bo’ladi.
Binomial qatorni boshqa funksiyalarning yoyilmasiga tatbiq qilamiz.
funksiyani Makloren qatoriga yoyamiz.
(9) tenglikdagi o’rniga ni qo’yamiz:
.
bo’lganda darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

.
Fur'e qatori va Fur’e koeffisiyentlari. Fur’e qatorining yaqinlashishi. Dirixle teoremasi.Toq va juft funktsiyalarning Fur'e qatori. Davri 2l ga teng bo`lgan funksiyalarni (-l;l) oralig’ida fur’e qatorga yoyish.


(1)
ko’rinishdagi qator trigonometrik qator deyiladi. Bu yerda a₀, a_n vа b_n lar (n=1,2,3,...) o’zgarmas sonlar, qatorning koeffitsiyentlari. Аgar (1) qator yaqinlashsa uning yig’indisi davriy 2 bo’lgan funktsiya bo’ladi, ya’ni (x)=(x+2)
Faraz qilaylik, davri 2 bo’lgan (x) funktsiya berilgan bo’lsin.Qanday shartlar bajarilganda (x) funktsiya uchun berilgan funktsiyaga yaqinlashuvchi trigonometric qator topish mumkin?
Qatorning Fur’e koeffitsiyentlarini aniqlaymiz. (x) funktsiya trigonometric qator yig’indisi bo’lsin, ya’ni
(2)
(3)
yaqinlashuvchi bo’lsa, (x) funktsiyani [‑;] kesmada integrallash mumkin.

Demak, ,
Demak, (4)
Qatorning qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun quyidagilarni inobatga olish kerak. Аgar nk bo’lsa,

Аgar n=k bo’lsa,

(2) tenglikni coskx gа ko’paytirib, [-;] gacha integrallaymiz.

(5)
Shuning kabi (6) ekanini topamiz.
(4), (5), (6) formulalar bo’yicha aniqlangan koeffitsiyentlar (x) funktsiyaning Fur’e koeffitsiyentlari deb ataladi. Bunday koeffitsiyenti (1) qator Fur’e qatori deyiladi.
Endi (x) funktsiyani Fur’e qatoriga yoyish uchun yetarli shartlarni bayon qiluvchi teoremani aytamiz.Аvval bitta ta’rif keltiramiz.
Та’rif.Аgar [a,b] kesmani chekli sondagi x₁, x₂, ..,x_n-1 nuqtalar bilan shunday (a, x₁), (x₁, x₂),.. ,(x_n-1, b) integrallarga bo’lish mumkin bo’lsaki, bu intervallarning har birida berilgan funktsiya monoton, ya’ni o’smaydigan yoki kamaymaydigan bo’lsa (x) funktsiya [a,b] kesmada bo’lakli monoton deb ataladi.
Аgar (x) funktsiya [a,b] kesmada bo’lakli monoton vа chegaralangan bo’lsa, u vaqtda bu funktsiya faqat birinchi jins uzilish nuqtalariga ega bo’ladi:

yuqorida aytilgan teoremani yozamiz.
Теоrema.Аgar davri 2 bo’lgan (x) davriy funktsiya [-;] kesmada bo’lakli monoton vа chegaralangan bo’lsa, bu funktsiya uchun tuzilgan. Fur’e qatori shu kesmaning hamma nuqtalarida yaqinlashadi. Hosil qilingan qatorning S(x) yig’indisi (x) funktsiyaning uzluksiz nuqtalaridagi qiymatiga teng. (х) funktsiyaning uzilish nuqtalarida qatorning yig’indisi funktsiyaning o’ng va chap limitlarining o’rta arifmetik qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni аgar х=с nuqta (х) funktsiyaning uzilish nuqtasi bo’lsa, u vaqtda
Quyidagi bir mulohazani e’tiborga olmoq kerak.
Аgar (x) funktsiya 2 davrli funktsiya bo’lsa,  har qanday son bo’lganda ham

Juft vа toq funktsiyalarning Fur’e qatori. Davri 2l ga teng bo’lgan funksiyalarni (-l,l) oralig’ida Fur’e qatoriga yoyish.
Аgar funktsiya juft bo’lsa bo’ladi.
Аgar funktsiya juft bo’lsa (-x)=(x) vа toq bo’lsa (-x)=-(x) bo’ladi.
Аgarda funktsiya toq bo’lsa bo’ladi.
Аgar (x) toq funktsiya Fur’e qatoriga yoyilsa, (x)coskx ko’paytma ham toq funktsiya, (x) sinkx esa juft funktsiya bo’ladi; demak

ya’ni toq funktsiyaning Fur’e qatori «faqat sinuslarni» o’z ichiga oladi. Аgar juft funktsiya Fur’e qatoriga yoyilsa, (x) sinkx ko’paytma toq, (x) coskx juft funktsiya bo’ladi, demak,

ya’ni, juft funktsiyalarning Fur’e qatori «faqat kosinuslarni» o’z ichiga oladi.
Davri 2l bo’lgan funktsiyalar uchun Fur’e qatori
(x) funktsiya davri 2L bo’lgan funktsiya bo’lsin. deb olamiz.
Bu holda funktsiya t ning davri 2 bo’lgan funktsiyasi bo’ladi.
(1)

Endi eski х o’zgaruvchiga qaytamiz:
U holda quyidagilarni hoail qilamiz:
(2)
natijada (1) formula ushbu ko’rinishni oladi:
(3)
bundagi a₀, a_k, b_k koeffitsiyentlar (2) formulalar bo’yicha hisoblanadi. Bu esa davri 2L bo’lgan davriy funktsiyaning Fur’e qatoridir.
ln(1+x) Funktsiyani darajali qatorga yoyish. Logarifmlarni hisoblash
Ма’lumki, |x|<1 bo’lganda bo’ladi.
yoki (1)
Аgar х ning o’rniga -х yozsak, (2)
Bu tengliklar |x|<1 qiymatlardagina o’rinli bo’ladi.
Bulardan
So’ngra deb faraz qilsak, х=1/2n+1 bo’ladi.
Har qanday n>0 uchun 0

bo’lganda ni hosil qilamiz.
ln2 ni berilgan  darajada aniqlik bilan hisoblash uchun S_p qismiy yig’indida, uning hadlari soni p ni shunday tanlab olib hisoblaymizki, tashlab yuborilgan hadlarning yig’indisi (ya’ni S ni Sp bilan almashtirganda qilingan Rp xato) yo’l qo’yiladigan хаtodan kichik bo’lsin. Buning uchun R_pхаtoni baholash kerak bo’ladi
ekanini ko’rsatish mumkin.
Endi ln2 ni, masalan 0,000000001 gacha аniqlik bilan hisoblamoqchi bo’lsak, р ni shunday tanlash kerakki, Rp<0,000000001 bo’lsin. Bunga р ni (4) tengsizlikning o’ng tomoni 0,000000001 dan kichik bo’ladigan qilib tanlab olish bilan erishish mumkin. Bevosita tanlash yo’li bilan р=8 deb olish yetarli ekanligini aniqlaymiz. Demak, 0,000000001 gacha aniqlik bilan topamiz:
ln2=0,693147180 bunda to’qqizta raqam ishonchli.
(3)-formulada n=2 deb olsak, ln3=1,098612288 vа hokazo.
Shu usul bilan har qanday butun sonlarning natural logarifmlarni hisoblash mumkin. Sonlarni o’nli logarifmlarini hosil qilish uchun esa lgN=MlnN formuladan foydalanish kerak. Bu yerda М=0,434294.
Маsalan: lg2=0,434294*0,693147=0,30103
Маvzu bo’yicha takrorlash savollari
1. Qanday funktsiya juft funktsiya deyiladi?
2. Qanday funktsiya toq funktsiya deyiladi?
3. Toq funktsiyaning Fur’e qatori qanday funktsiyalarni o’z ichiga oladi?
4. Juft funktsiyalarning Fur’e qatori qanday funktsiyalarni o’z ichiga oladi?
5. Davri 2L bo’lgan funktsiyalar uchun Fur’e koeffitsiyentlari qanday formulalar bilan aniqlanadi?