Non-statsionar rejimida issiqlik o'tkazuvchanlik muammolarni hal

Non-statsionar rejimida issiqlik o'tkazuvchanlik muammolarni hal
Non-milliy muammolarni differensial tenglamadan raqamli usul bilan hal qilish uchun issiqlik o'tkazuvchanligi (2.64)

har bir grid Node uchun yakuniy farqdagi tenglama olinishi kerak. Quyida ko'rsatilganidek, ikkinchisi oddiy algebraik tenglama bo'lib, undan kerakli haroratni aniqlash oson. T (15.7) ning birinchi lotin quyidagi shaklda yakuniy farqlar bilan ifodalanishi mumkin:

bu erda t₀ - o nuqtasida harorat (FIG. 15.2) t vaqtida; keyin-Dt vaqt oralig'ida bir xil nuqtada harorat.
Olingan nisbat (15.8) va (15.2), (15.3) va (15.7) bilan o nuqtasi uchun yakuniy farqdagi tenglama bir xil:

va Agar ah = Ay = Az = A, keyin
qayerdan kelgan

Olingan formulalar ma'lum bir haroratda, keyin o nuqtasida x vaqtida, shuningdek T, tg, 7z, G4, G5, 7b (fig. 15.2) xuddi shu nuqtada noma'lum haroratni toping, lekin t + lt vaqtida. Shunday qilib, x + dx vaqtida tarmoqning barcha nuqtalarida haroratni aniqlang.
X + 2dx vaqtida o nuqtasida haroratni topish uchun 7'₀topilgan harorat (t +Dt) ma'lum bo'lgan uchun olinadi va g₀"(t + 2dt) ni topamiz. Bunday operatsiyani bir necha marta davom ettirsak, ma'lum bir nuqtada o vaqtida haroratni taqsimlashni topamiz. Murakkab shakldagi jismlar uchun muammoni hal qilishda operatsiyalar soni juda katta.
Bir o'lchovli harorat maydonida iol-chegara tanasi uchun issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini ko'rib chiqing. Differensial tenglama (14.1) shaklga ega

Tana harorati bog'liq ikki o'zgaruvchilar - bu koordinatalarini x va vaqt H. Ajratish domen bir to'rtburchaklar panjara yordamida to'g'ridan-to'g'ri x = x va x = x* (Shakl. 15.3). X o'qi bo'ylab x = ax,x = /dx uzunligi va x o'qi bo'ylab - x = dx, x = cat vaqti-vaqti bilan segmentlarni qoldiring.

Shakl. 15.3. Tenglama xulosasiga (15.11)
(14.1) va (15.2) nuqta /, k ga asoslangan yakuniy farqlardagi tenglama (15.8) shaklga ega:

1 = (k + 1)Dt
Agar harorat g/,* nuqtada/, k vaqtida ma'lum bo'lsa, kerakli harorat g,. xuddi shu nuqtada, lekin vaqt ichida

Olingan formula (15.11) boshlang'ich va chegara sharoitlari belgilangan bo'lsa, har qanday vaqtda yarim chegaralangan tanada x o'qi bo'ylab haroratni taqsimlashni topishga imkon beradi. Dastlabki holat x o'qi bo'ylab haroratni taqsimlashni o'z ichiga olishi kerak, ya'ni harorat qiymatlari t_t o, g,, o, ... qatlamlar chegaralarida x = ah,..., x = / ah t = 0 da. Chegara holati-tananing chegarasida X = 0 haroratning joriy qiymati, * Dt-ushbu shartlardan foydalanib (t = 0 uchun), t t / haroratining (15.10) formulasi bilan topish mumkin..., T = at vaqtida x o'qi bo'ylab tanada Ti t i.

Formuladan (15.11) t = at vaqti uchun topilgan haroratni taqsimlashdan foydalanib, t_{t 2 haroratini topishingiz mumkin}..."D,, 2 vaqtida t = 2dt va boshqalar.
Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, ko'rib chiqilgan hisoblash sxemasi barqaror, ya'ni dastlabki ma'lumotlarning noto'g'ri topshiriqlarining xatolar va hisoblash xatolar, agar shart bajarilsa, t ortishi bilan oshmaydi:

Ayniqsa, oddiy formula (15.11) qachon bo'ladi ? = 2, qachon
aa t
bu ko'rinishni oladi: 
Ushbu tenglamadan t = (k+1)Dt vaqtidagi nuqtada/, k + 1 nuqtasida harorat 7¹/, * haroratiga bog'liq emas, balki faqat l-i, * va 7*1,* t = k vaqtida.
Ax = Au - Az - A (tenglama (15.9)) bo'lsa, uch o'lchamli vazifa uchun (15.12) holatiga o'xshash holda biz shartni olamiz:

va ikki o'lchovli vazifa uchun:
Shartlardan (15.12) - (15.14) a koordinatasida berilgan qadam bilan at vaqtida bunday qadamni topishingiz mumkin, bu hisoblash sxemasi barqaror bo'ladi.
T = (k + 15.10) at vaqtida harorat ka x vaqtida harorat orqali formula (15.10)bilan belgilanadi, chunki farq turi sxemasi (15.10) aniq deb ataladi. Tenglama uchun (14.1) yopiq farq diagrammasi shaklga ega

Tenglama (15.15) ni (15.10) bilan taqqoslab, ular D²t / dx 2 ning taxminan farqlanishini ko'rishingiz mumkin. Aniq bir sxemada (15.10), bu lotin x_k = ka t vaqtida yakuniy farq bilan almashtiriladiva yopiq sxemada (15.15) - t*₊₁ = (? + 1) at. (15.15) tipidagi tenglama (15.10) dan ko'ra qiyinlashadi, chunki u uch nuqtada noma'lum haroratni o'z ichiga oladi (/-1, k+1); (/, k+1) va (/+1, k+1). Shuning uchun, bu holda, barcha grid nuqtalari uchun bir vaqtning o'zida (15.15) turdagi farq tenglamalarining butun tizimini hal qilish kerak.
Yopiq turdagi tizimlarni (15.15) hal qilishning eng keng tarqalgan raqamli usullaridan biri-bu yugurish usuli. Tipdagi (15.15) aniq farqlar tenglamalaridan (15.10) ko'ra murakkabroq bo'lishiga qaramasdan, ular aniq tenglamalar bo'yicha afzalliklarga ega. Faqat shartlar bajarilganda (15.12) barqaror bo'lgan aniq sxemalardan farqli o'laroq, yopiq sxemalar mutlaqo barqarordir, ya'ni.ushbu sxemalardagi hisoblash xatolar vaqt va makondagi qadamlarning har qanday nisbatida o'smaydi. Bu at bosqichini aniq sxemalardan ko'ra ko'proq tanlash imkonini beradi va shuning uchun butun vazifaning umumiy hisob vaqtini kamaytiradi. Yuqorida keltirilgan masalalar bo'yicha batafsil ma'lumotni maxsus adabiyotda topishingiz mumkin [24].
Kesirli qadamlar usuli (ajratish usullari). Ko'p o'lchovli bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalarini raqamli hal qilish uchun fraksiyonel bosqichlar yoki parchalanish usullari [30] deb nomlangan yopiq sxemalarning afzalliklaridan foydalanishga imkon beruvchi bir guruh usullar ishlab chiqildi.
Ushbu usullarda at bosqichidagi ko'p o'lchovli vazifa o'rniga vaqtinchalik qadamlardagi bir o'lchovli vazifalar ketma-ketligi bilan almashtiriladi, bu (ikkinchisidan tashqari) at dan aktsiyalar (to'g'ri fraktsiyalar) sifatida rasmiy ravishda ko'rib chiqilishi mumkin va oxirgi qadam t +at vaqti uchun yakuniy yechim beradi.