Modda va energiya muvozanatining modeli

Modda va energiya muvozanatining modeli.

Moddalar va energiya muvozanatini hisobga olgan holda differentsial tenglamalarga asoslangan modelning misolini ko'rib chiqamiz. Ma'lumki, tabiatda, hatto eng qulay sharoitlarda ham daraxt o'sishi ma'lum chegaradan oshmaydi. Savol tug'iladi, nega barcha daraxtlar, turlaridan qat'iy nazar, dastlab tezda o'sadi, so'ngra o'sish sekinlashadi, oxir-oqibat u butunlay to'xtaydi?

Daraxtning o'sishi bilan, bir tomondan, fotosintez tufayli energiya oqimi ko'payishi, boshqa tomondan, masalan, daraxtning butun hajmi bo'ylab ozuqa moddalarini tashish bilan bog'liq bo'lgan qiyinchiliklar intuitiv ravishda aniq. Natijada bunday ehtiyojlar uchun energiya sarfi oshadi. Oxir oqibat, energiya oqimi keyingi energiya sarflarini qoplash uchun etarli emas va daraxt o'sishni to'xtatadi.

Ushbu intuitiv mulohazalarga asoslanib, siz gipotezalarni shakllantirishingiz va modelni yaratishingiz, so'ngra hosil bo'lgan tenglikni tekshirishingiz mumkin.I. A. Poletaev tomonidan taklif qilingan modelni ko'rib chiqamiz. Ushbu model quyidagi soddalashtirilgan taxminlarga asoslanadi: 1. Voyaga yetgan o'simlik o'sishi davomida geometrik o'xshashligini saqlab qoladi. Bu shuni anglatadiki, katta o'simlikida geometrik o'lchamlarning nisbati o'sishi bilan o'zgarmaydi, masalan, balandlikning diametrga nisbati

(h / d = const).

• 2. O'simlik erkin energiyani (yoki faol moddani) faqat fotosintez orqali oladi.
• 3. Erkin energiya fotosintezga, tirik to'qima qurilishiga (o'sishga) va tuproqdan eritmani ko'tarishga sarflanadi.
• 4. O'rtacha uzoq vaqt davomida o'simlik toj yuzasi birligiga doimiy yorug'lik miqdorini oladi (kunlik va mavsumiy tebranishlarni hisobga olmaganda) va kerakli moddalarni tuproqdagi cheksiz zaxiradan o'zlashtira oladi.

Endi balans tenglamasini tuzishingiz mumkin.X daraxtning balandligi bo'lsin; u holda, 1-taxmindan, barglarning sirt maydoni x2 ga proporsional bo'ladi va o'simlik hajmi (masalan, daraxt tanasining hajmi) x3 qiymatiga proporsional bo'ladi. Vaqt o'tishi bilan x o'zgarishi aniq: x = x (t). Balans tenglamasiga kiritilgan barcha miqdorlarni x bilan ifodalashga harakat qilamiz. Birinchidan, biz kelayotgan erkin energiya uchun ifodani topamiz. Bu energiya fotosintez tufayli hosil bo'ladi. O'simlikning yashil qismining yuzasi qanchalik katta bo'lsa, shuncha ko'p energiya.

• Shunday qilib, E ni x2 ga proporsional deb taxmin qilishimiz mumkin. Е=aх2,
• bu erda a - proporsionallik koeffitsienti (bu ma'lum bir tur uchun doimiy deb hisoblanadigan barglarning kattaligi va shakliga va fotosintez intensivligiga bog'liq).
• Boshqa taxminlarga ko'ra boshqa energiya manbalari mavjud emas va energiya sarfini kuzatish mumkin. Energiyaning bir qismi, avvalambor, fotosintez jarayonini o'zi amalga oshirishga sarflanadi. Ushbu oqim tezligi x2 ga ham mutanosib bo'lib, u bx2 sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda b - a dan kam bo'lgan proporsionallik koeffitsienti.

• Bundan tashqari, energiya ozuqaviy eritmani o'simlikning barcha qismlariga etkazish uchun sarflanadi. Ushbu iste'mol qancha ko'p bo'lsa, transport yo'llari shunchalik ko'p bo'ladi, ya'ni zavod hajmi shuncha ko'p bo'ladi. Bundan tashqari, ushbu iste'mol tortishish kuchini engib o'tish bilan bog'liq va shuning uchun ozuqa moddalarining balandligi qanchalik katta bo'lsa. Shunday qilib, bu oqim tezligi x3 hajmiga ham, x balandlikka ham proporsionaldir va biz ularning ko’paytmasiga, ya'ni gx3x ga proporsional deb taxmin qilishimiz mumkin.

• Nihoyat, energiya o'simlik massasini ko'paytirishga, ya'ni o'sishga sarflanadi. Ushbu iste'mol o'sish sur'atlariga proporsional, ya'ni massaning vaqt hosilasi (m = rx3, bu erda r - o'simlikning o'rtacha zichligi, x3 - hajm). Shunday qilib, oxirgi oqim tezligi quyidagicha ifodalanishi mumkin
• Bu yerda δ – proporsionallik koeffitsiyenti.

• Energiyani saqlanish qonuni asosida (qilingan taxminlarni hisobga olgan holda) energiya sarfi uning oqimiga teng bo'lishi kerak va biz balans tenglamasini olamiz:

yoki

(1)

Ushbu munosabatda x(t) uchun differentsial tenglama hosil bo’ldi.

(1) tenglamani nolga teng bo'lmagan

3δrх2 ifodaga bo'lish va quyidagi

belgilashlarni kiritib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz

(2)

х(0) ≈ 0

• Daraxt o’sayotganligi uchun dx/dt hosila musbat bo’ladi. Bunda

a – bx2 > 0, va х2 < a/b ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, (2) ifodani integrallasak, quyidagi natijani olamiz

• Quyidagi formula kelib chiqadi:

Daraxtning t vaqt mobaynida o’sishi grafigi

• Agar a va b ma'lum bo'lsa (ular daraxt turlariga bog'liq bo'lsa), unda ushbu formuladan shu turdagi daraxtning yoshiga qarab o'rtacha balandligini aniqlash uchun foydalanish mumkin. Modelni haqiqiy eksperimental vaziyatlarda sinab ko'rish uning yetarliligini tasdiqladi. Binobarin, uning asosida yotgan gipotezalar haqiqatga zid kelmaydi.

Quyidagi masala berilgan bo’lsin

• O'rmonda daraxtlarning maksimal balandligi 50 m. 40 yoshli daraxtlar kesilib, tsellyuloza ishlab chiqarish uchun xom ashyo sifatida ishlatiladi. Ularning o'rtacha balandligi 15 m. Bo’lsa a va b koeffitsientlarini aniqlang.
• Masalaning yechilishi
• Daraxt yoshi t kattalashgan sari uning balandligi x(t) ga yaqinlashadi, va quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz
• Sistemani yechib, a va bning qiymatlarini toppish mumkin