Методы реконструкции изображения

§2. Методы реконструкции изображения

1. 
   Алгоритм суммирования обратных проекций (алгоритм Вайнштейна)
   

Схема восстановления томограмм по алгоритму суммирования обратных проекций:

Рис.5 Получение проекций.

Рис.6 Суммирование обратных проекций.

На Рис. 5 представлена схема получения трех проекций функции под различными углами ₁, ₂, ₃. Полученные функции представляют собой исходные данные для последующего восстановления распределения . Преобразуем каждую из полученных проекций т.о., чтобы получить из нее двумерную функцию , которая постоянна вдоль оси q, перпендикулярной оси р. Эта операция называется обратным проецированием. Затем набор обратных проекций просуммируем между собой, повернув предварительно каждую из них на соответствующий угол получения проекции. На Рис. 6 приведен результат такого суммирования нашего тест-объекта. Получившаяся функция носит название суммарного изображения. Из рисунков видно, что и имеют много общего. В частности, неоднородности, характеризующие , достаточно явно проявились на суммарном изображении. Существенным отличием является наличие артефактов вокруг каждой из неоднородностей. При увеличении числа проекций эти артефакты будут сливаться между собой. Каждая точка в суммарном изображении будет превращаться в многолучевую звезду, а в пределе при бесконечном числе проекций превратится в функцию вида :

2. Метод основанный на связи Фурье-преобразованиях

Рис. 7 Получение проекций:

Представим функцию виде набора синусоид, произвольно ориентированных в пространстве и постоянных вдоль одной из осей (Рис 7).

Рассмотрим проекцию синусоиды у которой направление зондирования совпадает с направлением синусоиды. Она также будет синусоидой, период которой совпадает с периодом исходной функции. Если направление зондирования не совпадает с образующей, то интеграл от синусоиды вдоль любой прямой будет равен нулю.
Пусть изображение состоит из набора косинусов. Следовательно, линейное Фурье-преобразование будет являться набором частот, которые соответствуют этим косинусам.
Таким образом, в Фурье-спектр проекции, полученный под углом , внесут вклад только те пространственные частоты функции , образующие которых параллельны направлению зондирования.
Рис. 8 (Фурье-спектр проекций):

Если мы рассмотрим преобразование Фурье проекции ( ) , то на Рис. 8 (Фурье-спектр проекций) увидим, что оно совпадает с распределением Фурье-образа двумерной функции вдоль линии, проходящей через начало координат и перпендикулярной к направлению зондирования.
Рис. 9 Фурье-спектр томограммы:

Если взять двумерное обратное преобразование Фурье, то получим томограмму, то есть получили алгоритм реконструкции. Информация о задана в частотной области неравномерно. Низкие пространственные частоты определены в числе точек спектральной плоскости, а высокие — в меньшем.
Причем плотность задания спектральных компонент уменьшается в зависимости от по закону . Для восстановления функции перед выполнения двумерного обратного фурье-преобразования необходимо выполнить предварительную фильтрацию суммарного спектра всех проекций функцией .
Рис.10 Двумерный   фильтр: