Koshi masalasini taqriban yechishning Eyler usuli”

O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta-maxsus ta’lim vazirligi

Nizomiy nomidagi Fizika-matematika fakulteti
“Matematika va informatika” bakalavriat ta’lim yo’nalishi
202-guruh talabasi Abdulloyev Amrulloning
“Kompyuterli matematik modellashtirish” fanidan
“Koshi masalasini taqriban yechishning Eyler usuli”
mavzusida yozgan
MUSTAQIL ISHI

Toshkent – 2022

Eyler usuli
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.
Birinchi tartibli differensial tenglamani
y^’=f(x,y) (7.4.1)
[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.
Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.
(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak

_k
Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak
u_k+1=u_k+ (7.4.2)
Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:


u_k+1= y_k+ y_k , y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..
Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:
x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)
(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi
u_i+1=y_i+ y_i , z_i+1=z_i+ z_i
Bu erda
u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i), z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)

Misol. Eyler usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:



bu erda
.
Topshiriq:

1. 
   Berilgan differensial tenglamalarni Eyler usuli yordamida taqribiy hisoblang. Har bir masalaning yechim [0;1] oraliqda topilsin.
   

1. 
   f(x,y)=
   
2. 
   f(x,y)=2x- +1 y(0)=1
   
3. 
   f(x,y)=2xsinx+ y(π)=0
   
4. 
   f(x,y)= y(1)=1
   
5. 
   f(x,y)=2x+ y(1)=4
   

Yechim.
Differensial tenglamani eyler usulida taqribiy hisoblashimiz uchun bizga unning ayni bir nuqtadagi ayni bir qiymati ma’lum bo’lishi kerak. Bu degani bizga koshi masalasi berilgan bo’lishi kk.

1. 
   Demak bizga f(x,y)= differensial tenglama berilgan bo’lsin.
   

1-qadam. Excelda yangi list ochamiz va birinchi qatorni A1 katakda i ; B1 katakda xi ; C1katakda yi D1 katakni f(xi;yi) va E1 katakni hf(xi;yi) deb nomlab chiqamiz.

2-qadam: A2 katakdan boshlab 0 dan 10 gacha raqamlab chiqamiz.

Izoh: Bundan maqsad 10ta bo’lakga bo’lib ishlaganimiz uchun.
3-qadam: Bizga koshi masalasiga ko’ra x=0 y=1 qiymatni bergani uchun uni kiritib olamiz:

4-qadam: D2 katakga funksiyani kiritamiz: Buning uchun D2 katakga = belgisi bilan rasmda ko’rsatilganday kiritamiz.

5-qadam: x oralig’imiz [0;1] oraliqda va 10ta qadamdan iboratligidan h=0.1 kelib chiqadi.
va B ustunni to’ldiramiz.

6-qadam: E2 katakni rasmdagiday to’ldiramiz.

7-qadam: C3 katakga kelib E2+C2 buyrug’ini beramiz. Va jadvalni to’ldiramiz.



Bizdagi Yi ustun differensial tenglamaning taqribiy yechimidir.
8-qadam: y funksiyani bilgan holda G ustunni to’ldiramiz.

9-qadam: C va G ustunlarni birgalikda belgilab olib вставка bo’limidan kerakli funksiyatanlanib funksiya chiziladi

10-qadam : Natijani ko’ramiz…