Классификация точек разрыва

Классификация точек разрыва
Для точек разрыва принята следующая классификация.

1. 
   Е сли в точке имеются конечные пределы, но они не равны f(x₀+0)≠f(x₀-0), то x₀ называется точкой разрыва первого рода, при этом разрыв называют скачком функции.
   
   
   
2. 
   Т очками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
   
   
   
3. 
   Т очка x=x₀ называется точкой устранимого разрыва, если f(x₀+0)=f(x₀-0)≠f(x₀). Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) функцию и функция станет непрерывной в точке x₀.
   
   
   

см. также Непрерывность функции: основные понятия и свойства (разрывы функции и их классификации с подробными примерами).
ПРИМЕР №1. Установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окрестностях этих точек: 
Решение. Найдем точки разрыва функции внутри указанной области.
Находим переделы в точке x=1.


В этой точке функция терпит разрыв. Предел равен ∞, поэтому это точка разрыва II-го рода.
Находим переделы в точке x=0


В этой точке функция терпит разрыв. Пределы существуют, но не равны, поэтому это точка разрыва I-го рода.

Ответ: точка x₁=1 является точкой разрыва II-го рода, точка x₂=0 является точкой разрыва I-го рода.
ПРИМЕР №2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение. Исследуем точку стыка промежутков x=π/2


В этой точке пределы существуют и они равны, поэтому функция в этой точке непрерывна.
Исследуем поведение функции на отрезке (π/2;π).


Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.
Исследуем точку стыка промежутков x=π


В этой точке пределы существуют, но они разные, поэтому это точка разрыва I-го рода.
Исследуем поведение функции на отрезке (pi;∞).


Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.

Ответ: Точка x=π является точкой разрыва I-го рода