Hisoblash usullari

Amaliy matematika va informatika ta’lim yo’nalishi 3-kurs talabalari uchun “ Hisoblash usullari “ fanidan 1-oraliq nazorat savollari.

22-variant

1. Nyuton - Kottes formulalari.

2. Runge-Kutta metodlarning yaqinlashishi.

3. Integralning qiymatini 3 xona aniqlikda Trapetsiya, Simpson formulalari yordamida hisoblang.



Javoblari:

1.Nyuton - Kottes formulalari.

Berilgan y=f(x) funksiyaning aniq integrali

ni hisoblash talab qilingan bo’lsin.

O’zgarmas  qadamni tanlab olib [a,b] kesmani teng uzoqlikdagi nuqtalar

yordamida n ta teng bo’lakka bo’lamiz va bu nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymatlari

ma’lum bo’lsin.

1.Integral tagidagi y(x) funksiyani Lagranj interpolatsiyash ko’phadi  bilan almashtirib , quyidagi taqribiy kvadratura formulasiga kelamiz

bunda biror-bir o’zgarmas koeffisiyentlar. Formula (1) dagi  koeffisiyentlar uchun aniq ifoda chiqaramiz . Ma’lumki,

bu yerda



Ushbu belgilashni kiritib 



hamda



deb olib  va



ifodalarni o’zgartirib yozamiz, bunda quyidagilarni e’tiborga olamiz

Bu holda

bo’ladi  va  larning bu qiymatlarini (2)ga qo’yib,  uchun

ifodaga ega bo’lamiz.

2.Integral (1) dagi y(x) funksiyani Lagranj interpolatsiyalash ko’phadi  bilan, hamda aniq integralda integrallash o’zgaruvchisini

bilan almashtirsak, aniq integralning chegaralari quyidagicha aniqlanadi:





 va - koeffisiyentlar uchun quyidagi formulani hosil qilamiz



 koeffisiyentlarni o’zgartirib yozamiz,  bo’lganligidan, odatda

 deb olinadi, bunda

Formula (7) ga Kotess koeffisiyentlari deyiladi. Kvadratura formulasi (1) bu holda quyidagi ko’rinishdi oladi.

bunda

 va 

Quyidagi tengliklar o’rinli ekanligini ko’rish mumkin

3) O’tgan mavzudagi formula (7) ni  da qo’llaymiz , bu xolda  bo’ladi

da 

 da , 

ekanligini aniqlaymiz. Endi

formuladan



trapesiya formulasi hosil qilamiz .Bu formulanning qoldiq hadi

 integralini hisoblash uchin integrallash intgrali  ni  ta teng bo’laka bo’amiz:



va ularning har biri uchun trapetsiya formulasini qo’llaymiz.

 deb xisoblab va 

orqali integral tagidagi funksiyaning  nuqtalardagi qiymatlarini belgilasak,



formulaga ega bo’lamiz .Bu formulaning qoldiq hadi

bu erda 

4.O’tgan mavzudagi (7) formuladan  da ,

uchun quyidagilarni hosil qilamiz





O’z navbatida  ekanligidan



ga ega bo’lamiz.

Formula (3) Simpson formulasi deyiladi ,Simpson formulasining qoldiq hadi



ga teng.

5.Umumlashgan Simpson formulasi chiqarishda  juft son va

 esa  funksiyaning teng nuqtalar

da  qadam bilan joylashgan qiymatdari bo’lsin .Har bir ikkilangan kesmachalar uchun simpson formulasini qo’lasak, ya’ni

lar uchun , ularning har birining uzunligi  ga teng .Simpson formulasining umumlashgan ko’rinishiga ega bo’lamiz .

Bu formulani boshqacha qilib yozak,

Bu formulaning qoldiq hadi.

Bu yerda