Hisoblash usullari

2.Runge-Kutta metodlarining yaqinlashishi.

Runge-Kutta metodlari yaqinlashishi tartibi approksimatsiya tartibi bilan bir xilligini ko’ramiz.  xatolikni qanoatlantiradigan tenglamani yozamiz. Runge-Kutta metodining tenglamasi

(1)

Bunda

(2)

(1)-tenglamaning chap tomoniga –ning  ifodasini qo’yib o’ng tomonga

yig’indini qo’shib ayiramiz.

Bu yerda



(3)

Unda (1)-tenglama

(4)

Bunda

(5)

ta’rifga ko’ra (1),(2)-larni (1)-yechimi u-dagi approksimatsiya xatoligi bo’lib,

(6)

(11)-tenglamani metodning xatolik tenglamasi sifatida qaraymiz. U i=0,1,…, uchun bajariladi.  ,chunki  aniq beriladi. (1)-tenglama chegaralangan  vaqt oralig’ida yechiladi deb faraz qilamiz, shu sababli ixtiyoriy i va  uchun  bajariladi.

Faraz qilamiz, f(t,u) qaralayotgan sohada u bo’yicha L konstantali Lipshist shartini qanoatlantirsin. Shu faraz bilan avval ni, undan so’ng –ni baholaymz. (9) va (10)-ifodalardan va farazdan

belgilashdan so’ng oldingi tengsizlikka asosan

yoki

1-lemma

(15)-tengsizlikdan  bo’lganda

tengsizlik hosil bo’ladi, bunda 

Isbot

i=1 dagi (16)-baho i=0 dagi (15)-baho bilan bir xildir. Faraz qilamiz (16)-tengsizlik i=1,2,…,k uchun bajarilgan bo’lsin. Uning i=k+1 uchun o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

(15) dan i=k uchun

tengsizlikka egamiz. Induksiyaning faraziga ko’ra

bundan

Shuni isbot qilish talab qilingan edi.

Endi funsiyani baholaymiz. (14) va (16) dan

bunda

shunday qilib  xatolikning o’sishi bilan  kattalik xatolikning birinchi darajasidan tez o’smasligi ma’lum bo’ldi. Endi  xatolikni baholaymiz. (11)-tenglamadan

tengsizlikka egamiz. Bundan (17)-ni inobatga olib

bunda

ekanligi ko’rinib turibdi. Agar  bo’lsa, unda  , ya’ni .

3.Integralning qiymatini 3 xona aniqlikda Trapetsiya, Simpson formulalari yordamida hisoblang.