Fure qatarı. Funkciyalardıń ortogonal sisteması

Fure qatarı. Funkciyalardıń ortogonal sisteması

Hár bir aǵzası u_n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx (n=0,1,2,3..) garmonikadan ibarat.

(1)
funkcional qatardı qaraymız, ádette (1) qatardı trigonometrik qatar dep ataymız. a_0,a_1,b₂,b₃,.. Sanlar bolsa trigonometrik qatardın koeficientleri dep ataladı. f(x) funkciya [-~] de berilgen ham usı aralıqta integrallanıwshı bolsın. Bul funkciyalardın integralların esaplap,olardı tomendegishe belgileymiz.
(2)
Bul sanlardan paydalanıp
(3)
trigonometrik qatardı duzemiz.
Anıqlama. a_0,a_1,b₁,b₂,... Koeficientleri (2) formula menen anıqlanǵan (3) trigonometrik qatar f(x) funkciyanıń Fure qatarı dep ataladı a_0,a_1,b₁,b₂,... sanlar bolsa f(x) funkciyanıń Fure koeficientleri dep ataladı.


Jup hám taq funkciyalardın Fure qatarı

f(x) funkciya [-~] de berilgen jup funkciya bolsın. Ol [-~] de integrallanıushı. Onda f(x)cosnx jup al f(x)sinnx bolsa taq funkciya boladı hám olar [-~] de integrallanıwshı boladı. (2) formuladan paydalanıp , f(x) funkciyanıń Fure koeficientlerin tabamız.

(4)
Onda Fure qatarı Endi f(x) funkciya [-~] de berilgen taq funkciya bolsın ham ol usı aralıqta integrallanıwshı bolsın. Bul jagdayda f(x)cosnx taq funkciya, f(x)sinnx bolsa jup funkciya boladı. (4) formuladan paydalanıp f(x) funkciyanıń Fure koeficentlerin tabamız.



Onda Fure qatarı
Mısal 1. F(x)=x², (-x) funkciyanıń Fure qatarı jazılsın.

onda
Mısal 2. F(x)=x, (-x) funkciyanıń Fure qatarı jazılsın.

demek
[-L, L] aralıqta berilgen funkciyanıń Fure qatarı.
Biz joqarıda [-~] aralıqta berilgen funkciya ushın Fure qatarı túsinigin kirittik. Bunday túsinikti erikli [-L, L] aralıqta berilgen funkciya ushın hám kirgiziw mumkin. f(x) funkciya [-L, L] de berilgen ham usı aralıqta integrallanıwshı bolsın. Onda t= almastırıw [-L, L] aralıqtı [-~] aralıqqa ótkeredi. Eger dep alınsa,  (t) funkciyanı [-~] de berilgen hám usı aralıqta integrallanıwshı ekenligin kóriu qıyın emes. Bul  (t) funkciyanıń Fure qatarı tómendegishe boladı.

Bul jerde
Joqarıdaǵı almastırıwdı esapqa alsaq

bolıp onın koeficentleri

boladı. Nátiyjede qa iye bolamız. Bunda

(1) nıń on tárepindegi trigonometrik qatardı [-L, L] de berilgen f(x) tıń Fure qatarı deymiz. Al (2) Fure koeficientleri dep ataladı.
Lemma 1. [a,b] aralıqta berilgen hám integrallanıwshı erikli  (x) funkciya ushın
(5)
boladı.
Dálillew. [a,b] aralıqtın bazıbir p={x₀,x₁,x₂,…x_n} a=x₀12<…..n=b bólinbesin alayıq.Integraldın qásiyeti boyınsha boladı. (x) funkciya [a,b] da shegaralangan demek inf |(x): x[x_k,x_k+1]| k=0,1,2,… oni m_k=inf|(x)| dep belgileyik. Endi (5) integraldı
kóriniste jazıp s₁ hám s₂ qosılıwshını bahalaymız. Eger funkciyanın [x_k,x_k+1], degi terbelisi bolsa, s1 ushın
(6)
Teńsizlıkke iye bolamız. Shárt boyınsha  (x) funkciya [a,b] da integrallanıwshı onda >0 ushın sonday >0 tabılıp [a,b] aralıqtın diametri _p<  bolǵan xár qanday p bólinbe ushın
(7)
boladı. (r.t) hám (r.y) qatnaslardan
|s₁|</2 (8)
boladı. Endi s2 qosılıwshını bahalaymız
demek boladı. Eger p nı jetkilıkli úlken etip alsaq
(9)
boladı. Nátiyjede joqarıdaǵı qatnaslardan jetkilıkli ulken p ushın
ekenligi kelip shıǵadı. Demek
Lemma dálillendi.
Eskertiw. Lemmadaǵı integrallar parametrge baylanıslı integrallar