Funksiya ekstremumlari Tayanch so’z va iboralar

Funksiya ekstremumlari


Tayanch so’z va iboralar: lokal ekstremum, global ekstramum, statsionar nuqta, yuqori tartibli xususiy hosila, aralash xususiy hosila.

Reja

1. 
   Funksiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta.
   
2. 
   Funksiya ekstremumining zaruriy sharti.
   
3. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti.
   
4. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning to‘plamda eng katta va eng kichik qiymatlari.
   
5. 
   Shartli ekstremumlar
   

Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumini topishda gradiyentning asosiy xossalaridan foydalaniladi.

funksiya nuqtaning atrofida aniqlangan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, barcha lar uchun bajarilsa, nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
2-ta’rif. Funksiyaning lokal maksimum va minimum nuqtalariga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
3-ta’rif. Agar nuqtada funksiyaning gradiyenti nol vektor, ya‘ni
bo‘lsa, u holda nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
Misol. 1) funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Ushbu funksiyaning gradiyenti
yoki sistemani yechib, statsionar nuqtani quramiz.
Demak, agar funksiyaning ekstremum nuqtasida barcha xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda

bo’lib nuqta uning statsionar nuqtasi bo‘ladi.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning ekstremum nuqtasini topishni ikki o‘zgaruvchili funksiya misolida ko’rib chqamiz.
Bu funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritamiz:
va bo`lsin.
U holda:
1) agar bo‘lsa, statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo‘lib,
a) bo‘lsa, statsionar nuqta maksimum nuqta;
b) bo‘lsa, statsionar nuqta minimum nuqta bo’ladi.
2) agar bo‘lsa, u holda statsionar nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi;
3) agar bo‘lsa, u holda nuqtaning ekstremum nuqtasi bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holda qo‘shimcha tekshirish talab etiladi.
Misol. 2) 1– misolda keltirilgan funksiyaning statsionar nuqtasini ekstremumga tekshiramiz:


bo‘lgani uchun statsionar nuqta ekstremum va bo‘lganidan minimum nuqta bo‘ladi.
funksiya chegaralangan, yopiq to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Funksiya to‘plamining har bir nuqtasida, uning ba‘zi nuqtalaridan tashqari, xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ushbu holda, to‘plamga tegishli shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishadi. Funksiya to‘plamda o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatini nafaqat ichki statsionar nuqtada yoki xususiy hosilalaridan biri mavjud bo‘lmagan nuqtada, shu bilan birga V to‘plamning chegarasida ham erishishi mumkin.
Yuqoridagilarni e‘tiborga olib, funksiyaning berilgan to‘plamda eng katta va eng kichik qiymatlarini topish jarayonini quyidagi ketma – ketlikda amalga oshiriladi:
a) to‘plamning funksiya xususiy hosilalari mavjud bo‘lmagan nuqtalari aniqlanadi;
b) funksiyaning to‘plamga tegishli barcha statsionar nuqtalari topiladi;
c) barcha aniqlangan nuqtalarga va to‘plam chegarasida funksiya qiymatlari hisoblanadi va o‘zaro solishtiriladi. Ulardan eng kattasi (eng kichigi) funksiyaning to‘plamda erishadigan eng katta (eng kichik) qiymati hisoblanadi.

z=f(x;y) funksiyaning x va y argumentlar o’zaro φ=(x;y)=0 tenglama bilan bog’langan holdagi ekstremumi shartli ekstremum deyiladi.
Funksiya shartli ekstremuminitopish uchun Lagrnaj funksiyasi deb ataluvchi quyidagi
(*)
yordamchi funksiyani tuzamiz, bunda λ – no’malum o’zgarmas ko’paytuvchi.
(*) dan x, y va λ boyicha xususiy hosilalar olinib, nolga tenglashtirsak, quyidagi uch (x,y,λ) no’malumli uchta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(**)
Bu tenglamar sistemasini yechib, x, y, λ larni topamiz. (**) tenglamalar shartli ekstremumning zaruriy shartlaridir. Kritik nuqtalarda funksiya shartli ekstremumga ega bo’lish, bo’lmasligi masalasi Lagranj funksiyasining

Ikkinchi tartibli differensiali ishorasini tekshirish yordamida yechiladi, bunda dx va dy lar

tenglama bilan bog’langan.
Agar d²F<0 bo’lsa, z=f(x;y) funksiya shartli maksimumga, d²F>0 bo’lsa, shartli minimumga ega bo’ladi.
Xususiy holda, agar kritik nuqta F(x;y) funksiya uchun ∆>0 bo’lib, A<0 (C<0) bo’lsa, f(x;y) funksiya shu nuqtada shartli maksimumga A>0 (C>0) bo’lsa, shartli minimumga ega bo’ladi. Ikki o’zgaruvchi funksiya shartli ekstremumga tekshirishning yuqoridagi usuli uch va undan ortiq o’zgaruvchili funksiyalar uchun ham o’rinli.