Fazoda to’g’ri chiziq

Fazoda to’g’ri chiziq.
. nuqtadan o’tuvchi va yo’naltiruvchi vektorga ega bo’lgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi:

(1) tenglamadagi har bir nisbatni parametrga tenglab, to’g’ri chiziqning

parametrik tenglamasini hosil qilamiz.
Berilgan nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi:

Fazodagi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi:

bu yerda

Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori

(4) tenglamadan bir marta ni, ikkinchi marta yo’qotib, to’g’ri chiziqning parametrlari bo’yicha yozilgan tenglamasiga ega bo’lamiz:

(6) tenglamani ushbu

kanonik ko’rinishda yozish mumkin.

to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka teng:

a) Ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik sharti:

b) Ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti:

c) Ikki to’g’ri chiziqning ustma-ust tushish sharti:

d) Ikki to’g’ri chiziqning kesishish sharti:

e) Ikki to’g’ri chiziqning ayqash bo’lishlik sharti:


to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa:

bu yerda to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta va vektor to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori.

ikki ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi eng qisqa masofa:

bu yerda nuqtalar mos ravishda to’g’ri chiziqlarga tegishli, lar esa ularning yo’naltiruvchi vektorlari.
Ikkita ko’phadning nisbati

kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi. Bunda hamda ko’phadlarning daraja ko’rsatkichlari bo’lib, ular natural sonlardir. Agar bo’lsa, kasr-ratsional funktsiya to’g’ri kasr, da esa noto’g’ri kasr deyiladi
ratsional kasr noto’g’ri bo’lgan hollarda kasrning suratini maxrajiga odatdagidek bo’lish bilan uning butun qismi ajratiladi.
Quyidagi kasrlar eng sodda kasr-ratsional funktsiyalar deyiladi.



Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.
Bu yerda


bo’lgan holda.

tenglikdan va lar topiladi va holatga keladi.
bo’lgan holda.


tenglik holatga keldi.
U holda Bundan


Barcha trigonometrik funktsiyalarni orqali ratsional ravishda ifodalash mumkin. Bu ifodani orqali belgilaymiz.
integralni qaraymiz. Bu integralda universal (umumiy) almashtirish bajarilsa, u holda integral ostidagi ifoda o’zgaruvchining ratsional funktsiyasiga aylanadi:



1. Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
2. Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
3. Agar funktsiya va ga nisbatan juft bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
Bu yerda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan formulalardan foydalaniladi:

4. ko’rinishdagi integrallarda
Agar va toq bo’lsa, u holda
Agar va toq bo’lsa, u holda
almashtirishlar bu funktsiyalarni ratsionallashtiradi.
Agar va ko’rsatkichlar juft va nomanfiy bo’lsa, u holda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib, yoki yana olni hosil qilamiz.