Диофант тенгламалари

Aim.Uz

Диофант тенгламалари.
Диофант томонидан қилинган ишларни тушиниш учун алгебраик геометрия ва аниқмас тенгламалар назариясидан баъзи маълумотларни билиш керак. Ҳозирги кунда аниқмас тенгламаларни ечиш масаласи қуйидагича ифода этилади: фараз қилайлик, та номаълумли та кўпҳад берилган бўлсин (): , бу кўпҳадлар қандайдир майдондан олинган коэффициентлар билан таъминланган.
(1)
системанинг барча ечимларининг тўпламини топиш талаб этилади ва унинг алгебраик структурасини аниқлаш талаб этилади. Шу билан бирга ечимни рационал дейилади, агар барча бўлса.
тўпламнинг майдонга боғлиқлиги аён. Ҳақиқатан, тенглама рационал сонлар майдонида биронта ҳам илдизга эга эмас, лекин майдонда, яъни кўринишдаги сонлар майдонида чексиз кўп ечимга эга.
Сонлар назарияси учун муҳим бўлган ҳоллар;

1. 
   Қачон рационал сонлар майдони ёки
   
2. 
   туб модулга кўра чегирмалар майдони
   

Диофант ана шу ҳоллардан биринчисини қараган. Бундан кейин бу ерда биз ҳам деб ҳисоблаймиз.
Қуйида биз фақат Диофантнинг шундай тенгламаларини қараймизки, уларни икки номаълумли битта тенгламага, яъни ҳолга келтириш мумкин бўлсин:
. (2)
Бу тенглама текисликда алгебраик эгри чизиқни аниқлайди. (2) тенгламанинг рационал ечимини эгри чизиқнинг рационал нуқтаси деб атаймиз. Келгусида биз кўпроқ геометрик тилга мурожаат қиламиз ва хоҳлангки, Диофантнинг ўзи асло бундай қилмаган. (2) га тартиб бўйича қандайдир синфлаштиришни берамиз. (2) эгри чизиқнинг тартиби деганда кўпҳаддаги ҳадларнинг максимал тартибини (бунда ва ларнинг даражалари йиғиндисини) тушинилади. Бу тушунчанинг геометрик маъноси эса тўғри чизиқнинг тартибли эгри чизиқ билан роппа-роса та нуқтада кесишиши тушинилади. Бунда кесишган нуқталарнинг карралиларини, комплексларини ва “чексиз узоқлашганлар”ини назарга олинади.
Масалан, айлана ва тўғри чизиқни 2 та комплекс нуқтада, гипербола ва тўғри чизиқ 2 та чексиз узоқлашган нуқталарда, худди шу гипербола тўғри чизиқ билан эса 2 каррали битта умумий нуқтада кесишади.
Лекин Диофант таҳлили мақсадлари учун (бу терминни ҳозир диофант геометрияси дейишади) тартиб бўйича классификациялаш жуда қўполга ўхшайди. Буни мисолда тушунтириш қулай. Айтайлик, : айлана ва ҳар қандай рационал коэффициентли тўғри чизиқ берилган бўлсин. Бу айлана ва тўғри чизиқнинг рационал нуқтасини қуйидагича бир қийматли мосликка қўйиш мумкин. Буни қуйидагича қилиш мумкин:
айлананинг нуқталарини тўғри чизиқнинг нуқталари билан уларнинг ва каби кесишган жойларидаги нуқталарини мос қўйилади (1-чизма).
Бундай ҳолда тўғри чизиқ айлананинг тартиблари турлича бўлсада, уларнинг Диофант таҳлили ажралмас бўлиб, уларнинг рационал ечимлари тўплами эквивалентдир.
Алгебраик эгри чизиқларни жинс бўйича классификациялаш анча нозик бўлиб, буни XIX асрда Абел ва Риман киритган. Бу классификациялаш эгри чизиқнинг махсус нуқталари сонини ҳисобга олади.
Айтайлик, эгри чизиқнинг (2) тенгламадан иборат кўпҳад рационал сонлар майдонида келтирилмайдиган бўлсин. эгри чизиқнинг нуқтасида унга ўтказилган уринманинг тенгламаси бўлсин, бунда . Агар нуқтада ёки нолдан фарқли бўлса, масалан, агар ва бўлса, бўлиб, уринма эса нуқтада вертикал бўлади.
Агар нуқтада ҳар иккала хусусий ҳосилалар нолга тенг бўлса, яъни ва бўлса, нуқтани махсус дейилади.
Масалан, эгри чизиқда нуқта махсус, чунки бу нуқтада ва лар нолга айланади.
Энг содда махсус нуқта каррали нуқта бўлиб, унда ва ҳосилалардан камида биттаси нолдан фарқли. 2-чизмада каррали нуқта тасвирланган бўлиб, бу нуқтадан иккита турлича уринмалар ўтган.

Бундан ҳам мураккаброқ бўлган махсус нуқта 3-чизмада тасвирланган.

Алгебраик эгри чизиқда чекли сондаги махсус нуқталар бўлиши мумкин. Ҳақиқатан, айтайлик, () эгри чизиқ тенгламаси бўлиб, бунда кўпҳад рационал сонлар майдонида келтирилмайдиган бўлсин. Махсус нуқталарнинг координаталари , тенгламаларни ҳамда () тенгламани қаноатлантириши керак. Лекин бу уччала алгебраик тенгламалар системаси фақат чекли сондаги ечимларга эга бўлиши мумкин. Каррали махсус нуқталардан бошқа ҳеч қандай махсус нуқталари бўлмаган бундай алгебраик эгри чизиқларнинг жинсини аниқлаймиз. Умумий ҳолда, яъни ихтиёрий алгебраик эгри чизиқ учун жинс анча мураккаб аниқланади.
Айтайлик, ясси эгри чизиқнинг каррали нуқталари сони га тенг бўлсин; у ҳолда нинг жинси ушбу формула билан аниқланувчи бутун сонга айтилади, бунда сон эгри чизиқ тартиби; ни кўрсатиш мумкин.
Агар тўғри чизиқ ёки иккинчи тартибли эгри чизиқ бўлса, келтирилган формуладан кўринадики, , яъни бу эгри чизиқлар бир жинсдаги эгри чизиқлардир. Учинчи тартибли эгри чизиқлар махсус нуқтага эга бўлиш бўлмаслигига боғлиқ бўлиб, 0 ёки 1 жинсга эгадир. Масалан, 1 жинс “Ферма эгри чизиғи”дир: . Бироқ жинс бўйича классификациялаш эгри чизиқнинг арифметик хоссаларини тан олмайди. Масалан, ва эгри чизиқлар 0 жинсга эга, шу билан бирга улардан биринчисида чексиз кўп рационал нуқталар бўлиб, иккинчисида биронта ҳам йўқ.
(1) тенгламани ечишда кўпинча
(3)
ўзгарувчиларни алмаштириш қиламиз; бу ерда ва лар икки кўпҳад нисбатларидан иборат рационал функциялардир. (3) ни (2) тенгламага қўйсак,
(4)
ни оламиз. Бу тенглама қандайдир эгри чизиқни ифода этади.
Айтайлик, ва нинг нуқталари ўзаро бир қийматли бўлиб, бирининг нуқталарини бошқасининг нуқталарига ўтказа олсин ва қуйидаги икки шарт бажарилсин: 1) ва лар рационал коэффициентларга эга бўлсин; 2) (3) тенглама тескариланувчи, яъни улардан ўз навбатида
(3)
ларни топиш мумкин бўлсин, бунда ва лар рационал коэффициентли рационал функциялардир.
Агар ва эгри чизиқлар орасида (3) ва (3) формулалар ёрдамида рационал коэффициентлар билан ўзаро мослик ўрнатиш мумкин бўлса, эгри чизиқларни эквивалент бирационаллар дейилади, бу алмаштиришнинг ўзини эса бирационал дейилади. Масалан, агар ва лар ушбу кўринишли чизиқли, яъни

функциялар бўлса, ларни ларнинг чизиқли рационал коэффициентли рационал функциялари орқали ифодалаш мумкин, яъни алмаштириш бирационал бўлади, бунда .
Мураккаброқ мисол кўрамиз. Айтайлик, эгри чизиқ ўз тенгламаси билан берилган бўлсин:
()
Буни (учинчи даражали кўпҳад) кўринишли эгри чизиққа бирационал алмаштириш мумкин. Бунинг учун () тенгламанинг ҳар икки томонини га бўлиб, деймиз. У ҳолда () тенглама ушбуга алмашади:
.
Шунинг билан ва лар орқали рационал ифода этилади:

ва аксинча,
,
яъни ва эгри чизиқлар бирационал эквивалентдир.
Иккита бирационал эквивалент эгри чизиқларнинг ва рационал нуқталар тўпламларини нуқталарнинг чекли тўпламигача бир қийматли мослигини ўрнатиш мумкин.
Диофантчасига таҳлил нуқтаи-назаридан иккита бирационал эквивалент эгри чизиқлар ўзаро тенг ҳуқуқли. Шу билан бирга эгри чизиқ тартиби умуман олганда эгри чизиқ тартибидан фарқли.
Агар учинчи тартибли эгри чизиқ бўлса, у энг камида битта рационал нуқтага эга бўлиб, унинг бирационал алмаштиришлар орқали ҳосил қилинган тенгламасини
(5)
кўринишга келтириш мумкин, бунда ва лар рационал сонлар.