Differensial tenglama

DIFFERENSIAL TENGLAMA fanidan
mustaqil ishlar mavzusi (2021-2022 o‘.y.)

№	Mustaqil ish №3	Ajratilgan ball
1.	Mustaqil ish mavzusi. Chiziqli differensial tenglamalarning tebranishlar jarayoniga tatbiqi	4

Modellashtirish: erkin va majburiy tebranishlar

U yoki bu darajada takrorlanuvchanligi bilan ajralib turadigan jarayonlarga tebranishlar deyiladi.

Fizik tabiati turli bo‘lishiga qaramasdan tebranishlarni bir xil ko‘rinishdagi tenglamalar bilan ifodalash mumkinligi aniqlangan. Ushbu bandda prujinali mayatnikdagi tebranishlarni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bilan modellashtirish masalalarini ko‘rib chiqamiz.


1.Prujinali mayatnikning tebranishlari
Muvozanat holati atrofida tebranma harakatlanayotgan qattiq jism mayatnik deyiladi. Prujinali mayatnik – bu bir uchi mustahkamlangan prujina va prujinaga osilgan massali yukdan (sharchadan) iborat sistemadir.
Umumiy holda prujinali mayatnikning og‘irlik kuchi maydonidagi harakati ancha murakkab. Biz, prujinali mayatnikning amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan harakatini-vertikal o‘q atrofidagi tebranishlarini o‘rganamiz. Bunday tebranishlarni yuzaga keltirish uchun prujina bir oz cho‘ziladi va keyin qo‘yib yuboriladi (4-v), (s-shakl). Bunda tebranishlarni to‘liq ifodalash uchun bitta parametrning, masalan, massalar markazi vertikal koordinatasi ning holatini o‘rganish yetarli.
Prujina mayatnikda sharchaga uchta kuch ta’sir qiladi: og‘irlik kuchi, elastiklik kuchi, qarshilik kuchi (masalan, amartizatorning ta’sir kuchi).
Avval, sharchaga qarshilik kuchi kuchi ta’sir qilmaydi, deymiz. Bunda koordinatalar boshini sharcha muvozanatda bo‘lgan nuqtada ( da) tanlansa, og‘irlik kuchi prujinaning biror cho‘zilishi bilan kompensatsiyalanadi va keyingi tenglamalarda qatnashmaydi.
Sharcha muvozanat nuqtasidan chetlashtirilganida qaytaruvchi kuch (prujinaning elastiklik kuchi) paydo bo‘ladi. Prujinali mayatnikning kichik tebranishlarida va kuch Guk qonuniga ko‘ra ga teng bo‘ladi, bu yerda –prujina bikirligi. Bunda prujinaning siljishi ga, siljish tezligi ga teng bo‘ladi. U holda Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra mayatnikning harakat tenglamasi

ko‘rinishda yoki, belgilash kiritilsa,
(1)
ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda - sharcha massasi.
(1) tenglama ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglama. Uning xarakteristik yechimlarga ega. U holda (3.15) formulaga ko‘ra (1) tenglamaning umumiy yechimi
(2)
ko‘rinishda, shartlardagi (bunda bo‘ladi)
xususiy yechimi
(3)
ko‘rinishda bo‘ladi.
(3) tenglama amplitudasi ga va davri ga teng sodda garmonik tenglamalarni ifodalaydi.
(2) tenglamada deyish mumkin, bu yerda –biror o‘zgarmaslar. U holda (1) tenglamaning (2) umumiy yechimini
(4)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda A tebranishlar amplitudasi, boshlang‘ich faza, doiraviy chastota, tebranishlar chastotasi deb yuritiladi.
1-misol. Prujinali mayatnikda sharchaning og‘irligi 0.5 (kg), prujinaning bikirligi 50 (N/m). Sharcha boshlang‘ich holati dan boshlang‘ich tezlik bilan qo‘zg‘aladi (bunda boshlang‘ich vaqtda sharcha pastga siljigan bo‘ladi va u yuqoriga harakatlanadi). Sharchaning harakat qonunini, amplitudasini, chastotasini va tebranishlar davrini toping.
Yechish. Masalaning shartiga ko‘ra:


U holda sharchaning harakat tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

bu erda yoki
Tebranishlar amplitudasini topamiz:

Demak, sharcha tenglamasining xususiy yechimi

Bunda boshlang‘ich faza, va shartlardan topiladi:
.