Аналитическая геометрия на плоскости

Введение
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие геометрические образы – линии и поверхности (а также их частные случаи прямые и плоскости) исследуются средствами алгебры на основе метода координат. Объектом исследования в аналитической геометрии являются линии и поверхности, задаваемые алгебраическими уравнениями не выше второго порядка. Пространства геометрических векторов и , которые рассматриваются в аналитической геометрии, являются частным случаем евклидовых пространств.

Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. 
   Понятие об уравнении кривой на плоскости
   

Рассмотрим в прямоугольной системе координат OXY произвольную линию L и уравнение .

Определение. Уравнение называется уравнением линии L на плоскости OXY, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(x,y), принадлежащей линии L, и не удовлетворяют координаты любой точки, не принадлежащей L.
Другими словами, если известно уравнение линии, то относительно любой точки плоскости можно решить вопрос: лежит ли она на этой линии. Для этого достаточно координаты испытуемой точки подставить в уравнение линии вместо переменных. Если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на этой линии.
Определение. Линия называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид

где p_k,q_k – целые неотрицательные числа, и при этом все a_k не равны нулю одновременно.
Определение. Число называется порядком алгебраического уравнения.
Пример 1. Прямая линия представляет собой линию первого порядка, квадратная парабола - линию второго порядка, в “декартов лист” - линию третьего порядка.
Можно определить две основные задачи геометрии:
- по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение;
- по уравнению линии исследовать ее геометрические свойства.
Пример 2. Найти уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(a,b).
По определению, окружность радиуса r с центром в точке С – множество точек плоскости, удаленных от С на расстояние r. Точка M(x,y)(M – текущая точка; х,у – текущие координаты лежит на окружности в том и только в том случае, когда .

Выражая длину СМ через координаты его концов, получим, что , или, после возведения в квадрат:
,
т.е. искомое уравнение окружности.
В частности, окружность с центром в начале координат имеет уравнение
.
Пример 3. Уравнение или . Этому уравнению линии удовлетворяют лишь те точки, которые расположены в первой и третьей четвертях на биссктрисах координатных углов.
Пример 4. Уравнение не определяет никакой линии.

2.