8-лаборатория иши. Оралиқ баҳо (ишончлилик эҳтимоллиги ва ишончлилик оралиғи)

8-лаборатория иши.Оралиқ баҳо (ишончлилик эҳтимоллиги ва ишончлилик оралиғи).

8.1. Фараз қилайлик, бош тўплам белгисининг тақсимот функцияси бўлиб, номаълум параметр бўлсин. Бош тўпламдан олинган танланманинг кузатилган қийматлари бўлсин.

1-таъриф. Танланманинг ихтиёрий функцияси статистика дейилади.

Нуқтавий баҳолашда тақсимот функциянинг номаълум параметри учун шундай статистика қидириладики, ни параметр учун тақрибий қиймат деб олинади. Бу ҳолда статистика параметрнинг баҳоси дейилади.

2-таъриф. Агар номаълум параметр битта сон билан баҳоланса, у ҳолда бу баҳо нуқтавий баҳо дейилади.

Тажрибалар сони жуда катта бўлса, нуқтавий баҳонинг қиймати номаълум параметрга яқин бўлади. Шу пайтгача танишган статистик баҳолар: танланма ўртачаси, “тузатилган” дисперсиялар нуқтавий баҳо ҳисобланади. Аммо, кузатишлар сони кам бўлса, нуқтавий баҳо ва параметр орасидаги фарқ сезиларли даражада бўлиши мумкин. Бундай ҳолларда параметрни баҳолаш учун интерваллибаҳолардан фойдаланиш мақсадга мувофиқ ҳисобланади.

3-таъриф. Иккита сон (интервал четлари) билан аниқланадиган баҳо интервалли баҳо деб аталади.

Интервалли баҳода баҳонинг аниқлилиги ва ишончлилиги тушунчаларини киритишимиз керак бўлади. Буни қуйида кўриб чиқамиз.

Танланма маълумотлари асосида топилган -статистик характеристика параметрнинг баҳоси бўлсин. ни ўзгармас сон деб фараз қиламиз. Маълумки, нинг аниқлиги юқори бўлган сари нинг қиймати камайиб боради, яъни тенгсизликда қанча кичик бўлса, баҳо шунча аниқ бўлади. Шу сабабли, баҳонинганиқлиги деб аталади.

Статистик методлар баҳо тенгсизликни қаноатланиришни қатъий тасдиқлай олмайди, балки бу тенгсизлик бажарилишининг қандайдир эҳтимоллиги ҳақида хулоса қила олади.

тенгсизликнинг бажарилиш эҳтимоли параметрнинг баҳо бўйича ишончлилиги(ишончлиликэҳтимоли) дейилади. Бу ерда, . Кўп ҳолларда, ишончлилик олдиндан берилади. Масалан, 0,95; 0,99; 0,999 ва ҳакозо.

эҳтимолликни қуйидагича ёзиб оламиз:

.

Бу муносабатни қуйидагича тушуниш керак: интервал номаълум параметрни ўз ичига олиш (қоплаш) эҳтимоли га тенг.

интервал номаълум параметрни берилган ишончлилик билан қопловчи ишончлиликинтервали деб аталади.

1-эслатма. интервал тасодифий четки нуқталарга эга, чунки турли танланмалар учун нинг қийматлари турлича бўлади. Шу сабабли, танланма ўзгарса интервалнинг четки нуқталари ҳам ўзгаради.

Ишончлилик интервалларни топиш қандай амалга оширилиши билан нормал тақсимот қонунига бўйсинувчи тасодифий миқдорлар мисолида танишиб чиқамиз.

Faraz qilaylik, tanlanma berilgan bo‘lib, uning taqsimot funksiyasi hamda statistika parametr uchun statistik baho bo‘lsin. Bunday baho nuqtaviy baho deyiladi. Tanlanma hajm unchalik katta bo‘lmaganda nuqtaviy baho parametrning haqiqiy qiymatidan sezilarli farq qiladi hamda nuqtaviy baholardan boshqa baholarni o‘rganishga zaruriyat paydo bo‘ladi.

Agar ixtiyoriy son uchun munosabatni qanoatlantiruvchi, shunday son topish mumkin bo‘lsa, u holda oraliq γ ishonchlilik ehtimoliga mos keluvchi ishonchlilik oralig‘i deyiladi. Ko‘pincha sonlar tanlanmaga bog‘liq qilib olinadi. Bu esa ni intervalli baho sifatida qabul qilishga olib keladi.

Dastlab normal taqsimot parametrlarining ishonchlilik oraliqlarini baholarini keltiramiz.

Normal taqsimot a va parametrlarga bog‘liq.

Normal taqsimlangan bosh to‘plamning matematik kutilmasia uchun quyidagi ishonchli oraliqdan foydalaniladi.

1. 
   agar - o‘rtacha kvadratik chetlanish ma’lum bo‘lsa, γ – ishonchlilik ehtimoli bilan matematik kutilma uchun
   

, (1)
ishonchlilik oralig‘ini topamiz. Bu yerda - Laplas funksiyasi uchun, tenglamaning ildizi.

2. 
   Agar – o‘rtacha kvadratik chetlanish noma’lum bo‘lsa, tanlanma hajmi n<30 bo‘lganda
   

bu yerda, s_n- tuzatilgan tanlanma o‘rtacha kvadratik chetlanish vat_p(k)- ozodlik darajasi k bo‘lgan Student taqsimotining p - tartibli kvantilli.

Normal taqsimlangan bosh to‘plamning dispersiyasi uchun quyidagi ishonchlilik oralig‘idan foydalaniladi:

1. 
   agar amatematik kutilmasi ma’lum bo‘lsa,
   

(3)

bu yerda va -ozodlik darajasi k ga teng bo‘lgan “xi-kvadrat” taqsimotining p –tartibli kvantili.

2. 
   agar a matematik kutilmasi noma’lum bo‘lsa,
   

(4)

bu yerda .
Bernulli sxemasida γ ishonchlilik ehtimoli bilan muvoffaqiyatlar ehtimoli p ning ishonchlilik oralig‘ini topish uchun quyidagi munosabat o‘rinli

(6)

(5)

bu yerda h - A hodisa yuz berishlar sonining nisbiy chastotasi, - Laplas funksiyasi uchun, tenglamaning ildizi.

Xuddi shunga o‘xshash agar tanlanma no‘malum λ parametrli Puasson taqsimot qonuniga ega bo‘lgan bosh to‘plamdan olingan bo‘lsa, u holda λ uchun γ ishonchlilik ehtimoli bilan ishonchlilik oralig‘i

bu yerda huddi yuqoridagidek ma’noga ega.

1. Bosh to‘plam N(a,σ)normal taqsimlangan bo‘lsin. Noma’lum matematik kutilma(a) ni γ=0,95 ishonchlilik ehtimoli bilan ishonchli oraliqni toping. Bunda , tanlanma o‘rtacha va tanlanma hajmi n=25 berilgan.

Yechish. munosabatdan bo‘lib,jadvaldan t=1,96 ni topamiz. Topilganlarni
formulaga qo‘yib,


yoki

(12,04; 15,96)
ishonchli oralig‘ini aniqlaymiz.

2. Bosh to‘plamning N(a,σ)normal taqsimlangan. n = 16 hajmli tanlanma bo‘yicha tanlanma o‘rtacha va tanlanmaning tuzatilgan o‘rtacha kvadratik chetlanish s_n=0,8 topilgan. Noma’lum matematik kutilmaning ishonchli oralig‘ini γ=0,95 ishonchlilik ehtimoli bilan baholang.

Yechish. ni jadvaldan topamiz. γ=0,95; n=16; =2,13. Bu qiymatlarni

formulaga qo‘ysak,


_yoki


hosil bo‘ladi.

Demak, noma’lum a parametr 0,95 ishonchlilik ehtimoli bilan (19.774;20.626 ) ishonchli oralig‘ida yotadi.

3. Bosh to‘plamning normal taqsimlangan n = 16 hajmli tanlanma bo‘yicha tanlanma o‘rtacha kvadratik chetlanish s_n=1 topilgan. Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chetlanishi ni 0,95 ishonchlilik ehtimoli bilan qoplaydigan ishonchli oraliqni toping.

Yechish.Masalada matematik kutilmasinoma’lum bo‘lib,γ=0,95 van=16bo‘yicha jadvaldan

ekanligini topamiz.Topilgan qiymatlarni (4) formulaga qo‘yamiz va 0.5818< < 2.5959 yoki 0.7628< <1.5987 ishonchli oralig‘ini hosil qilamiz.