3-mavzu: Matrisa rangi

2-Ma’ruza: Matritsa tushunchasi. Matritsaning asosiy turlari. Matritsa ustida amallar. Teskari matritsa va uni tuzish. Matritsaning rangi.
Reja:

1. 
   Matritsa tushunchasi.
   
2. 
   Matritsaning asosiy turlari.
   
3. 
   Matritsa ustida amallar.
   
4. 
   Teskari matritsa va uni tuzish.
   
5. 
   Matritsaning rangi.
   

Tayanch tushunchalar. Matritsa tushunchasi. Matritsaning asosiy turlari. Matritsa ustida amallar. Teskari matritsa va uni tuzish. Matritsaning rangi.


Matritsa haqida tushuncha
a_iκ haqiqiy sonlar m ta satr va n ta ustunda joylashgan quyidagi to`g`ri to`rtburchak



shaklidagi jadvalga mxn o`lchamli matritsa deyiladi. a<sub>ίj</sub> haqiqiy sonlar matritsa elementlari deb ataladi. Matritsalar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Matritsalar odatda ko’rinishda belgilanadi.
1 x m o`lchamli matritsaga satr matritsa, n x 1 o`lchamli matritsaga ustun matritsa deyiladi.
2. Matritsalar ustida amallarning xossalari.
Nol matritsa deb, har bir elementi nolga teng bo`lgan matritsaga aytiladi.
n x m o`lchamli A = (a_iκ) va B = (b_iκ) matritsalar berilgan bo`lsin. Agar matritsalarning barcha mos elementlari o`zaro teng bo`lsa, matritsalar o`zaro teng deyiladi va A = B ko`rinishda yoziladi.
O`lchamlari aynan teng A va B matritsalarni qo`shganda, ularning mos elementlari qo`shiladi: A + B = (a_iκ) + (b_iκ) = (a_iκ+ b_iκ).
Haqiqiy son matritsaga ko`paytirilganda, matritsaning har bir elementi shu songa ko`paytiriladi: k (a_iκ) = (k a_iκ).
Misol. Amallarni bajaring:

Matritsalarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari quyidagi xossalarga bo`y sinadi: 1) A + B = B + A; 2) A + (B + C) = (A + B) + C; 3) k(A + B) = kA + kB; 4) k(nA) = (kn)A ; 5) (k + n)A = kA + nA.
Agar A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo`lsa, A va B matritsalar o`zaro zanjirlangan matritsalar deyiladi. O`zaro zanjirlangan matritsalarni ko`paytirish mumkin.
n x m o`lchamli A = (a_iκ) matritsani m x p o`lchamli B = (b<sub>iκ</sub>) matritsaga ko`paytmasi n x p o`lchamli C = (c<sub>iκ</sub>) matritsaga teng bo`lib, uning c_iκ elementlari quyidagicha aniqlanadi
,
ya`ni c<sub>iκ</sub> element A matritsa i-satri elementlarining B matritsa k-ustuni mos elementlariga ko`paytmalarining yig`indisiga teng.
Masalan:

Matritsalarni ko`paytirish quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1. (kA)B = k(AB); 2. (A + B)C = AC + BC;
3. A(B + C) = AB + AC; 4. A(BC) = (AB)C.
Matritsalarning ko`paytmasi ko`paytuvchi matritsalar nolmas bo`lishiga qaramasdan, nol matritsani berishi ham mumkin.

A va B matritsalarningko`paytmasi har doim o`rin almashtirish qo-nuniga bo`ysinavermaydi, ya`ni umuman olganda AB ≠ BA. AB = BA tenglikni qanoatlantiruvchi A va B matritsalarga o`rin almashinuvchi matritsalar deyiladi.
Berilgan n x m o`lchamli A matritsaning har bir satri mos ustunlari bilan almashtirilsa, hosil bo`lgan m x n o`lchamli matritsaga A matritsaning transponirlangan matritsasi deyiladi va A^T ko`rinishda belgilanadi.
Matritsalar ko`paytmasi transponirlangani uchun quyidagi formula o`rinli: (AB)<sup>T</sup> = B<sup>T</sup> A<sup>T</sup>.
Satrlari soni n ustunlari soni m ga teng bo`lgan matritsaga n–tartibli kvadratik matritsa deyiladi.
Kvadratik matritsaning quyidagi xususiy ko`rinishlari bir-biridan farqlaniladi:
– yuqori uchburchakli matritsa;

– quyi uchburchakli matritsa;

– diagonal matritsa;







Teskari matritsa



Berilgan matritsaga teskari matritsa quyidagi bo‘ladi:

Asosiy shart: A·A^-1=E.
3-misоl. A= mаtritsаgа tеskаri mаtritsаni аlgеbrаik to’ldiruvchilаr yordаmidа tоping.
Yechish. Bеrilgаn А mаtritsаning dеtеrminаntini hisоblаymiz:
5(4-9)+1(2–12)–1(3–8)=-25–10+5=-30.
Dеtеrminаnt nоldаn fаrqli, dеmаk, mаtritsаning tеskаrisi mаvjud. Mаtritsаning hаr bir elеmеnti аlgеbrаik to’ldiruvchisini tоpаmiz:
А₁₁ = (-1)¹⁺¹ ™ M₁₁ = = -5; А₁₂ = (-1)¹⁺² ™ M₁₂ =
А₁₃ = (-1)¹⁺³ ™ M₁₃ = А₂₁ = (-1)²⁺¹ ™ M₂₁ = =-1;
А₂₂ = (-1)²⁺² ™ M₂₂ = А₂₃ = (-1)²⁺³ ™ M₂₃ =
А₃₁ = (-1)³⁺¹ ™M₃₁ = = -1; А₃₂ = (-1)³⁺² ™M₃₂ =
А₃₃ = (-1)³⁺³ ™ M₃₃ =
= ;
Tеkshirish:
AA^-1 =
= =E.
Nazorat savollari:

1. 
   Matritsa deganda nima tushuniladi?
   
2. 
   Matritsaning qanday asosiy turlari bor?
   
3. 
   Matritsa ustida qanday amallar bajarish mumkin?
   
4. 
   Teskari matritsa qanday topiladi?
   
5. 
   Matritsaning rangi deganda nima tushuniladi?