3 – maruza. Togri chiziqning ortogonal proeksiyalardagi invariant xossalari

• 3 – MARUZA.
• Togri chiziq.
• Togri chiziqning ortogonal proeksiyalardagi
• invariant xossalari.
• Кesmaning haqiqiy uzunligini va proeksiyalar tekisliklari
• hosil qilgan burchaklarini aniqlash.
• Togri chiziq epyuri.

• Togri chiziq.
• Ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofaga togri chiziq deyiladi.
• Togri chiziqning ortogonal proeksiyalardagi invariant xossalari.
• Fazoda [AB], [CD], [EF] togri chiziq kesmalari va proeksiyalash yonalishi [S) berilgan (11 - chizma). Shu togri chiziq kesmalarini H gorizontal proeksiyalar tekisligiga proeksiyalab togri chiziqning invariant xossalarini korib chiqamiz

• Agar [AB] togri chiziq kesmasi proeksiyalash yonalishi [S)ga parallel bolmasa,
• u holda [AB] togri chiziq kesmasi togri chiziq
• [a b] bolib proeksiyalanadi.
• [AB] # [S)  [a b]  [AB]
• 2. Agar [CD] togri chiziq kesmasi proeksiyalash yonalishi
• [S)ga parallel bolsa,
• u holda [CD] togri chiziq kesmasi nuqta [cd] bolib
• proeksiyalanadi.
• [CD] || [S)  [cd]

• 3. Agar togri chiziq [EF] proeksiyalar tekisligi H ga parallel bolsa,
• u holda [EF] togri chiziq
• kesmasining proeksiyasi [e f] haqiqiy kattaligiga teng boladi, yani
• [EF] || H  [e f] = | EF |

• 4. Har qanday istalgan К nuqta togri chiziq kesmasida [AB] yotsa, u holda K
• nuqtaning proeksiyasi ham togri chiziq
• kesmasining proeksiyasida yotadi.
• ()К  [AB]  ()k  [a b]

• 5. Кesmalarning nisbati proeksiyalar
• nisbatiga teng boladi.
• [AК] / [KB] = m / n, [ak] / [kb] = m / n

• Kesmaning haqiqiy uzunligini va proeksiyalaro tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash.
• Togri chiziq proeksiyalar tekisliklari H, V, Wga ogma bolsa, umumiy vaziyatdagi togri chiziq deyiladi. Bunday togri chiziq proeksiyalari [ox) proeksiyalar oqlariga ogma ravishda joylashgan boladi.

• Fazoviy chizmada togri burchakli
• (ABC) uchburchak chizamiz.
• Uning 1 – kateti [BC] = [a b]
• 2 – kateti [AC] = [Aa] - [Bb]
• [Aa] = |AH|= Za;
• [Bb] =|BH|= Zb; bolgani uchun

• Chizmadan kesmaning gorizontal proeksiyalar
• tekisligi H bilan hosil qilgan burchagi .
•  = [AB] ^ H
• Chizmadan kesmaning frontal proeksiyalar
• tekisligi V bilan hosil qilgan burchagi .
•  = [AB] ^ V

• [

• Кoordinatalari bilan berilgan umumiy vaziyatdagi togri chiziqning fazoviy chizmasini korib chiqamiz.
• A (10; 15; 40), B(60; 35; 10).

• [Ac] = Za – Zb =

• Z

• Shuning uchun, [AB] kesmaning gorizontal va frontal proeksiyalari ozidan kichikdir.
• [ab]  [AB] va [ab]  [AB]
• Кoordinatalari bilan berilgan [AB] kesmaning epyurini chizamiz.

• Togri chiziq [AB] kesmasining haqiqiy kattaligini va gorizontal proeksiyalar tekisligi H hamda frontal proeksiyalar tekisligi V bilan hosil qilgan ogish burchaklarini topamiz.
• Buning uchun shunday togri burchakli uchburchak chizish kerakki, uning bir kateti kesmaning birorta proeksiyasiga (gorizontal yo frontal yoki profil) ikkinchi kateti эsa, kesma uchlari koordinatalarining algebraik ayirmasi (Z=Za-Zb), (Y=Yb-Ya), (X=Xb-Xa) ga teng bolishi kerak.
• Shunda togri burchakli uchburchakning gepotenuzasi kesmaning haqiqiy kattaligiga teng boladi.

• Nuqtaning togri chiziqqa tegishliligi.
• Agar К nuqta [AB] togri chiziqqa tegishli bolsa, nuqtaning bir nomli proeksiyalari togri chiziqning bir nomli proeksiyalariga tegishli boladi.
• Yani: ()К[AB]  ()k [a b]  ()k[ab]  ()k[ab]
• Misol: Chizmada berilgan C, D, K, E nuqtalarning qaysi biri [AB] togri chiziq kesmasiga tegishliligi aniqlansin.

• () C AB
• () D  AB
• () K  AB
• () E  AB

• Misol: Chizmada berilgan C, D, K, E nuqtalarning qaysi biri
• [AB] togri chiziq kesmasiga tegishliligi aniqlansin (14- chizma).

Kesmani berilgan nisbatda bolish.

• Kesmani berilgan nisbatda bolish.

• Misol: Berilgan [AB] togri chiziq
• kesmasini, 2/3 nisbatda boluvchi
• K nuqta topilsin (15 - chizma).
• Berilgan: [AB] (a b, a b)
• Topish kerak:
• ()К  [AB]  [AK] / [KB] = 2/3
• [a k] / [k b]=[ak] / [kb]=[AK] /
• [KB]=2/3

• Bu misol qadimgi grek olimi Fales teoremasiga asosan yechiladi.
• Teorema: Agar burchak tomonini kesadigan parallel
• togri chiziqlar uning bir tomonidan teng kesmalar ajratsa,
• ikkinchi tomonidan ham teng kesmalar ajratadi.