22-маъруза. Сиртнинг эгрилик чизиқлари. Бош йўналишлар. Режа

22-маъруза. Сиртнинг эгрилик чизиқлари . Бош йўналишлар.

Режа:

1. 
   Сиртнинг эгрилик чизиқлари
   
2. 
   Эгрилик чизиғининг тенгламаси
   
3. 
   Сирт устидаги бош йўналишлар
   
4. 
   Родриг теоремаси
   

Таъриф. Агар сирт устида берилган эгри чизиқнинг ҳар бир нуқтасидаги йўналиш бош йўналишдан иборат бўлса, бу эгри чизиқни сиртнинг эгрилик чизиьи дейилади.
Таърифга асосан сиртнинг эгрилик чизиьини топиш учун сиртнинг берилган нуқтасидаги йўналишни бош йўналиш бўлиш шартини беришимиз керак.
Маълумки, юқорида биз бош йўналиш сифатида эгрилик индикатрисаси ўқларининг йўналишини олдик. Шунингдек, бош йўналиш нормал эгрилик экстремал қийматларга эришиши билан характерланишини ҳам кўриб ўтдик.
Умуман олганда сиртнинг ҳар бир нуқтасида бош йўналиш мавжуд. Фақат бундан қуюқлашув нуқталари ва махсус юмалоқланиш нуқталари истисно бўлиб, бу нуқталарда ҳар бир йўналиш бош йўналишдан иборатдир.
Энди сирт устидаги du:dv йўналишнинг бош йўналиш бўлиш шартини топамиз.
Маълумки,
k_n= = .
Нормал эгриликнинг бош йўналишлар бўйича экстремал қийматларига эришишини эътиборга олиб, охирги тенгликнинг ўнг томонини du ва dv ларга нисбатан функция деб қараб ҳосила олсак, у 0 га тенг бўлиши керак. Бундан


Бу тенгламалардан
=k_n
=k_n
тенгликларни топамиз. Булардан бош йўналишларнинг тенгламасини қуйидагича ёзамиз.

ёки
=0
Охирги тенглама сирт эгрилик чизиьининг дифференциал тенгламасидани иборат.
Родриг теоремаси. Бирор йўналиш сиртнинг бош йўналиши бўлса, ушбу тенглик уринли бўлади: dn=-k_ndr бу ерда k_n шу йўналишдаги нормал эгриликдир.
ИСБОТ. u,v координат турини шундай киритамизки, u чизиқнинг берилган нуқтадаги йўналиши бўлиб, бу нуқтадаги координат чизиқлари ортогонал бўлсин. n²=1 дан n_un=0 келиб чиқади. Яъни n_u вектор n га перпендикулярдир. Бундан n_u векторни r_u ва r_v векторлар бўйича ёйиш мумкин, яъни
N_u=r_u+r_v
Бу тенгликни r_v га скаляр кўпайтириб ва r_ur_v=0, n_ur_v=-M=0 эканини эътиборга олсак, =0 ни топамиз. Энди бу тенгликни r_u га кўпайтириб,
N_ur_u=r_u²ёки -L=E
ни топамиз. Бундан = келиб чиқади. Бу эса u йўналиш бўйича сиртнинг нормал эгрилигидан иборатдир, яъни k_n га тенг. Демак, n_u=-k_nruбўлади. Бу тенглик теоремани исботлайди.


Таянч иборалар.
Сиртнинг эгрилик чизиьи, бош йўналиш шарти, эгрилик чизиьининг тенгламаси, қўшма ва ортогоналлик шартлари, Родриг теоремаси.


Назорат учун саволлар.
1. Сиртнинг эгрилик чизиьини таърифланг?
2. Нормал эгрилик ифодасини ёзиб беринг?
3. Қандай нуқталарда бош йўналишлар фақат иккита бўлади?
4. Берилган йўналишни бош йўналиш бўлиш шартини айтинг?
5. Родриг теоремасини айтинг.
6. Родриг теоремасининг аналитик ифодасини ёзинг?
7. тенглик нимани ифодалайди?
8. Нормал эгрилик экстремал қийматларга қачон эга бўлади?
9. Эгрилик чизиьи тенгламасини айтинг?
10. Чизиқларнинг ортогоналлик шарти ҳақида тушунча беринг?