10. Ўзгарувчини алмаштириб интеграллаш усули

1⁰. Ўзгарувчини алмаштириб интеграллаш усули.
Фараз қилайлик, функциянинг аниқмас интеграли
(1)
берилган бўлиб,уни ҳисоблаш талаб этилсин.
Кўпинча, ўзгарувчи ни маълум қоидага кўра бошқа ўзгарувчига алмаштириш натижасида берилган интеграл содда интегралга келади ва уни ҳисоблаш осон бўлади.
Айтайлик, (1) интегралдаги ўзгарувчи янги ўзгарувчи билан ушбу

муносабатда бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:
1) функция дифференциалланувчи бўлсин;
2) функция бошланғич функция га эга, яъни
(2)
3) функция қуйидагича
(3)
ифодалансин.
У ҳолда

бўлади.
◄Мураккаб функциянинг ҳосиласини ҳисоблаш қоида-сидан фойдаланиб, (2) ва (3) муносабатларни эътиборга олиб топамиз:
.
Бундан

бўлиши келиб чиқади. ►
Шу йўл билан (1) интегрални ҳисоблаш ўзгарувчини алмаштириб интеграллаш усули дейилади.
Бу усулда, ўзгарувчини жуда кўп муносабат билан алмаштириш имконияти бўлган ҳолда улар орасидан қаралаётган интегрални содда, ҳисоблаш учун қулай ҳолга келтирадиганини танлаб олиш муҳимдир.


1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегрални ўзгарувчисини алмаштириб ҳисоблаймиз:
►
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Аввало берилган интегрални қуйидагича

ёзиб оламиз. Бу интегрални ўзгарувчини алмаштириш усули-дан фойдаланиб ҳисоблаймиз:
►
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,

Унда

бўлиб,

бўлганлиги сабабли

бўлади.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда

эканини топамиз. ►
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Интегралда ўзгарувчини қуйидагича алмаштирамиз:
.
Унда




бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Натижада
(4)
бўлишини топамиз.►
2⁰. Бўлаклаб интеграллаш усули. Фараз қилайлик, ва функциялар узлуксиз , ҳосилаларга эга бўлсин.
Равшанки,

бўлади. Демак,

функция

функциянинг бошланғич функцияси бўлади. Бундан

бўлиши келиб чиқади.
Аниқмас интегралнинг 3)- ва 4)- хоссалардан фойда-ланиб
(5)
бўлишини топамиз.
(5) формулани қуйидагича
(5‰)
ҳам ёзиш мумкин.
Бу (5‰) формула бўлаклаб интеграллаш формуласи дейилади. Унинг ёрдамида

интегрални ҳисоблаш

интегрални ҳисоблашга келтирилади.
5-мисол.

интеграл ҳисоблансин.
◄Бўлаклаб интеграллаш формуласидан фойдаланиб топамиз:

►
6-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Қаралаётган интегралда

дейилса, унда

бўлади. Бўлаклаб интеграллаш формуласидан фойдаланиб топамиз:


Демак,


Маълумки, (1⁰ даги 4-мисол)

Натижада

бўлиши келиб чиқади. ►
7-мисол. Ушбу

интеграл топилсин.
◄ Бу интегралда

деб олсак, унда

бўлади. (5) формуладан фойдаланиб топамиз:

.
Натижада

бўлади. Бу тенгликдан
(6)
бўлиши келиб чиқади. ►
Одатда, (6) муносабат реккурент формула дейилади.
Равшанки, бўлганда

бўлади.
бўлганда мос интеграллар (6) реккурент формула ёрдамида топилади.
Масалан,

бўлади. ►