10-mavzu. Tanlanmaning sonli xarakteristikalari. Tanlanma matematik kutilish, tanlanma dispersiya va tanlanma

10-MAVZU. Tanlanmaning sonli xarakteristikalari. Tanlanma matematik kutilish, tanlanma dispersiya va tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanish tushunchasilari. tanlanma sonli xarakteristikalari xossalari

NAMUNAVIY MASHQLAR

1. 2,1,3,3,4,4,3,3,3,2,3,1,1,2,3,3,2,2,3,3tanlanma berilgan. Tanlanmaning
emperik taqsimotini, o’rta qiymatini, dispersiyasini, tuzatilgan dispersiyasini, o’rtacha kvadratik chetlashishini, tuzatilgan o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.
Y e c h i s h . Tanlanmaning emperik taqsimotini topamiz:

4

xi	1	2	3	4
ni	3	5	10	2

Bundan
n  _n_i  3  5  10  2  20^;
l 1
X  ¹ _4 x n  ¹ (1 3  2  5  3 10  4  2)  2,55;
n l 1 i i 20



i
D  ¹ 4 x
n l 1

• 
  X 2 n
  

i

 ¹ (1  2,55)²  3  (2  2,55)²  5  (3  2,55)² 10  (4  2,55)²  2
20
¹ (7,2075  1,5125  2,025  4,205)  0.7475;

20
S ²  ²⁰  0,7475  0,7868;  
19


^{ 0,86;} S 


 0,89 ^.

2. 
   O’rik sharbati 200 ml. hajmli idishlarga quyiladi. Quyuvchi avtomat shunday sozlanganki, uning to’ldirish xatoligi   10 ml.ga teng. Idishlar karton qutilarga 25 donadan qadoqlanadi. Xaridor qadoqlangan qutining o’rtacha og’irligi ko’rsatilgandan kam bo’lmasligini talab qiladi. Xaridor ishlab chiqarilgan mahsulotni qabul qilishi uchun ishlab chiqaruvchi avtomatni 205 ml. quyadigan qilib sozlab qo’ydi. Tasodifan tanlangan qadoqlangan qutining sifat nazoratidan
   

o’tmasligi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. Idishning o’rtacha to’ldirilishi 205 ml., o’rtacha kvadratik og’ishi
10 ml. Tasodifiy tanlanma sharbat bilan to’ldirilgan 25 ta idishlardan iborat. ^{p  25}
hajmli mumkin bo’lgan barcha tanlanmalar uchun o’rtacha og’irlikning taqsimoti normal taqsimotga bo’ysinadi. Bunda o’rtacha to’ldirilishi 205 ml.ga, o’rtacha
kvadratik og’ishi ^   2 ml.ga teng.

Agar qadoqlangan qutidagi idishlarning o’rtacha to’ldirilganligi 200 ml. dan

kam
bo’lsa, quti sifat nazoratidan o’tmaydi. Demak, izlanayotgan ehtimol

PX  200 P0  X  200 ^{ 200  205 }  ^{  205 } 
   

2
   ² 

 (2,5)  (102,5)  0,4938  (0,5)  0,0062.

2. 
   X belgili tanlanma   5 parametr bilan normal taqsimlangan. Agar
   

n  25, X 14 ^{bo’lsa, tanlanma ma’lumotlari bo’yicha }
 0,95
ishonchlilik bilan

a parametr uchun ishonchli oraliqni toping.

Y e c h i s h. topamiz.
(t)  ^
2
 ^0,95  0,475
2
ifoda uchun jadvaldan t 1,96 ni

X


 _ ^t _{; X}

_ t
^ ishonchli oraliqning chegaralarini aniqlaymiz:




14 1,96 12,04 , 14  1,96 15,96.
Shunday qilib, (12,04;15,96) ishonchli oraliq a parametrni 0,95 ishonchlilik
bilan

qoplaydi. Bunda bahoning aniqligi  1,96
ga teng.

2. 
   Jamg’arma bozoridagi ayrim aksiyalarning daromadliligi o’rganilmoqda.
   

15 kunda tasodifiy tanlanma o’rtacha kvadratik og’ishi S  3,5%, o’rtacha (yillik)

daromadlilik
X 10,37%
ga teng bo’lishi kuzatildi. Aksiyalarning daromadliligi

normal taqsimot qonuniga ega hisoblab, o’rganilayotgan aksiyalar uchun 95% li ishonchli oraliqni toping.
Y e c h i s h. Bosh to’plm o’rtacha kvadratik chetlashishi  noma’lum. Shu sababli
^{n 15,   0,95} uchun jadvaldan topamiz: t_  t(n; )  t(15;0,95)  2,15. U holda
X   10,37  ^{2,15  3,5}  10,37  1,94.
15
Bundan(8,43;12,31) . Demak, o’rganilayotgan aksiyalarning haqiqiy daromadliligi

0,95
ga
ishonchlilik bilan

(8,43;12,31)

oraliqda yotadi va bahoning aniqligi
 1,94

teng bo’ladi.

2. 
   Biror kattalik bitta asbob yordamida sistematik xatolarsiz 10 marta
   

o’lchangan bo’lib, bunda o’lchashlardagi tasodifiy xatolarning o’rta kvadratik

chetlashishi
0,8 ga teng chiqqan. Asbob aniqligini
0,95 ishonchlilik bilan toping.

Y e c h i s h. Jadvaldan
n 10 va
  0,95 ga mos ^q ning qiymatini topamiz:

^{q  q(10;0,95)  0,65} . U holda

0,8(1  0,65)    0,8(1  0,65)

yoki
0,28   1,32.

MUSTAHKAMLASH UCHUN MASHQLAR

1. 
   Bosh to’plamdan
   

n  50
hajmli tanlanma olingan:

xi	2	3	5	7
ni	12	8	16	14

Tanlanmaning o’rta dispersiyasini, tuzatilgan o’rtacha
qiymatini, dispersiyasini,

kvadratik chetlashishini va tuzatilgan o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.

Javob:

X  4,52;
D  4,3552;
S ²  4,444; 
 2,087;
S  2,108.

2. 
   Bosh to’plamdan
   

n  60
hajmli tanlanma olingan:

Tanlanmaning o’rta dispersiyasini, tuzatilgan
qiymatini, dispersiyasini,

xi	1	10	15	20
ni	30	8	12	10

o’rtacha kvadratik chetlashishini va tuzatilgan o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.

Javob:

X  9,8;
D  61,47;
S ²  62,52; 
 7,84;
S  7,91.

3. 
   Bosh to’plamdan
   

n 10
hajmli tanlanma olingan:

Tanlanmaning o’rta dispersiyasini, tuzatilgan
qiymatini, dispersiyasini,

xi	1250	1260	1270	1280
ni	4	2	3	1

o’rtacha kvadratik chetlashishini va tuzatilgan o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.

Javob:

X 1261;
D 109;
S ² 121,11; 
10,44;
S 11.

4. 
   Bosh to’plamning o’rtachasi X 1,03 ga va o’rtacha kvadratik chetlashishi
   

  400 ga teng. Bosh to’plamdan hajmi 100 ga teng bo’lgan tanlanma olingan. Tanlanmaning o’rtachasi X uchun kutilayotgan qiymatni va o’rtacha kvadratik chetlashishni toping.
Javob: 1,03; 1600.

5. 
   Do’konga kirgan xaridorning do’konda bo’lishi vaqti o’rta hisobda 14 daqiqaga, uning o’rtacha kvadratik chetlashishi 4 daqiqaga teng. Tavakkaliga tanlangan 6 ta xaridorning kamida 12 daqiqa do’konda bo’lishi ehtimolini toping.
   

Javob: 0,8888.

6. 
   Do’konda bir kunda o’rtacha 1000 ta kitob sotiladi. Bir kunlik o’rtacha savdo hajmining o’rtacha kvadratik chetlashishi 100 ga teng bo’lsa, to’rt kunlik savdoning o’rtacha 900 va 1100 dona kitob orasida bo’lishi ehtimolini toping.
   

Javob: 0,9544.

7. 
   Bosh to’plamning normal taqsimlangan X belgisining no’malum matematik kutilishi a ni 0,99 ishonchlilik bilan baholash uchun ishonchli oraliqni toping. Bosh o’rtacha kvadratik chetlashish  , tanlanmaning o’rta qiymati X va tanlanmaning hajmi
   

^{n berilgan: 1)}   5,
X 16,3,
n  25;
²⁾   4,
X 12,4,
n 16;

³⁾   3,
X 10,1,
n  9;
⁴⁾   6,
X 14,5,
n  36.

Javob: 1)

(11,93;17,07).

(13,73;18,87);
2) (9,83;14,97);
3) (7,53;12,67); 4)

8. 
   Audit tekshiruvchi tavakkaliga 50 ta to’lov hisoblarini tahlil qilib, ularning o’rtacha miqdori 1100 so’mga va o’rtacha kvadratik chetlashishi 287 so’mga
   

tengligini aniqladi. O’rtacha to’lov hisoblari uchun 90% li ishonchli oraliqni toping.
Javob: (1033,4;1166,6).

9. 
   Bosh to’plamdan
   

n 16
hajmli tanlanma olingan:

1) 2)
Bosh to’plamning normal taqsimlangan X belgisining no’malum matematik kutilishini o’rtacha qiymati 0,95 ishonchlilik bilan ishonchli oraliq yordamida baholang.
Javob: 1) (0,22;4,78); 2) (0,54;4,46).

10. 
    Tavakkaliga tanlangan 300 talabadan 75%i dekanat faoliyatidan mamnun ekanini bildirgan bo’lsa, talabalar orasida dekanatga hayrihohlar uchun 95% li ishonchli oraliqni toping.
    

Javob: (0,701;0,799).
12. Bir xil aniqlikdagi 15 ta o’lchash bo’yicha o’rtacha kvadratik chetlashish

aniqlangan: 1)
S  0,12;
2) S  0,16;
3) S  0,24.
O’lchash aniqligini 0,99

ishonchlilik bilan toping.
Javob: 1) (0,03;0,21);

2) (0,04;0,28);

3) (0,06;0,42).