|
+
0
,
2-1
—
0,1
-
1,6
= 0,881,
х
{21)
=
0,44
+
0,04-0,6
—
0,04-0,95 + 0,2 1 + 0,08-1,6 = 0,754
Ш унга ўхшаш х^1* = 0,892; х ^ ! ) = 1,851; х£! ) = 1,72. Ҳисоблашларнинг даво-
&
1
и 13-жадвалда келтирилган.
Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, ҳисоблашларни қисқартириш мақсс»
дида аввалги бир неча яқин.пашишларни камроқ ўнли рақамлари билан ҳ: *
«еоблаш ҳам мумкин.
Ҳисоблашлар, одатда, х <й) ва х <А+1) яқинлашишлар керакли аниқликда
устма-уст тушгунлари қадар давом эттирилади,
132
www.ziyouz.com kutubxonasi
13 - жадваж
к
М
Г1
х(к)
м
хз
х 4
4 "
0
0,6
0,44
0,95
1
•'
1,6
1
0,881
0,754
0,892
1,851
1,72
2
0,9884
0,9482
1,0029
1,9147
1,9859
3
0,9904
0,9814
0,9 08
1,9939
1,9854
4
0,99944
0,99753
0,99769
1,99364
1,99897
5
0,99839
0,99865
0,99929
1,99954
1,99970
6
0,99986
0,99989
0,99977
1,99976
1,99960
7
0,999934
0,999620
1,000018
1,999788
1,999947
8
0,999974
0,999951
0,999976
2,000042
1,999978
Бу жадвалдан кўрамизки 8- итерация
х, =
0,99997;
х 2
=
0,99995;
х 3
=
0,99998;,
х 4 = 2,00004;
х ъ —
1,99998 ечимдан иборат. Бу тогшлган тақрибий ечим аниқ;
ечим
х* = х*
=
х*
= 1,
х*
=
х*
= 2 дан бешинчи хонанинг бирликлари б ў-
1
2
3
4
0
йичагина фарқланяпти.
2- м и с о л. Қуйидаги системани оддий итерация методини қўллаш мум-
кин бўлган кўринишга келтиринг;
2х!
— Зх3
6х3
-ф 20
х
4
= 1 0 ,
(а>
XI 4 2
х
2 — 15х3 4 Зх4 = 7,
(б>.
—
8
х
4
— х2 Ч- 10х3
4
19
х
4 =
10
,
(в>
11х!
— 9
х
2
— 2х3 — х 4 = 6.
(г>
Е ч и ш. Кўриниб турибдики, бу системанинг коэффициентлари (8.21)—
(8.23) тенгсизликларни қаноатлантирмайди. Шунинг учун ҳам иккинчи усул-
ни қўллаймиз. (а) тенгламада
х 4
олдидаги коэффициент шу тенгламадагн
қолган коэффициентларнинг абсолют қийматлари бўйича олинган йиғиндиси-
дан катта. Шунинг учун ҳам (а) ни янги ҳосил килинадиган системанинг
4-тенгламаси сифатида оламиз. Шу мулоҳазаларга кўра (б) тенгламани янгк
системанинг 3-тенгламаси қилиб оламиз. Янги системанинг 1-тенгламасикн
ҳосил қилиш учун (а) дан (в) ни айирамиз, натижада
Ю.Г
1
—
2
х
2
— 4гсз 4
х 3
= 0
келиб чиқади. Ниҳоят, 2- тенгламасини ҳосил қилиш учун сўнгги ҳосил қк»
линган тенгламани (г) дан айирамиз:
.
.
Х\
—
7
х
2
-(•
2х3 —
— 2х3
= б.
Шундай қилиб, қуйидаги системага эга бўлдик:
10x1 —
2
х
<
2
—
4х3
—
)- х, = 0,
Х {
—
7 х 2
2 х 3
—
2
х
4
=
6
,
х±
-)“
2 х 3 —
15хз
4
“
Зхд
=
7
,
2хх
— 3x2
6
x
3
-{-
2
ОХ
4
=>
1 0
.
Кўриниб турибдики, бу системага итерация методини қўллаш мумкин.
Зейдел методи.
Зейдел методи чизиқли бир қадамли биринчк
тартибли итерацион методдир. Бу метод оддий итерация методи-
дан шу билан фарқ қиладики, дастлабки яқиялашиш
х ^ \
. .,.
х ^ у
га кўра я;|1) ни топамиз. Сўнгра ( х ^ ,
х<°\
, . . ,
х
<0))' га
кўра
ху>
топилади ва ҳ. к. Барча л;*1) лар аниқланганидан кейи»
1
з а
www.ziyouz.com kutubxonasi
л+>, л:<3>, . . . лар топилади. Аниқроқ айтганда, ҳисоблашлар қу'
йидаги схема'бўйича олиб борилади:
л(*+1) =
Ъ -
_ V
а
2 1 х \ к)
«11
^ « 1 1
‘
’
*(*+'> =
ь
л . _ ^
*<*+’>- V
а
Л х
аП
Й
22
й2а
*<*+<>
п
Ь„
а п !
— — У -^ -л :< *+ 1>.
а пл
+ ■
апп *
Энди Зейдел методининг яқинлашиш шартини кўриб чиқайлик. Бу
шарт қуйидаги теорема билан берилади.
5 -т е о р е м а . Зейдел методининг яқинлашиши учун
« п X
« 1 1
^
«12
# 2 2 ^
«13 • •
«23 , .
■
«
1
Л
• « 2 л
=
0
(8.26)
а пХ1 а п3к
« л3Х .
•
•
« Л Л Х
тенгламанинг барча илдизлари модуллари бўйича бирдан кичик бў-
лиши зарур ва кифоядир.
И сбот. Берилган
А
матрицани иккита
~"«11
0
____
0
0
1
г°
« 1 2
•
.
а
1
,
л
- 1
«
1
Л
П
С =
« 2 1
а 22
. . .
0
0
£> =
0
0
.
•
1
«
2
Л
_ «
Л
1
« Л 2
• • •
« Л .
Л
—
1
«лл
_
1
0
0
. . .
0
0
матрицалар йиғиндиси
А = С
-|-
О
шаклида ёзиб оламиз. У ҳолда
А х = Ь
системани
Сх
= —
Бх
+
Ъ
шаклда ёзиш мумкин. Зейдел методи эса
Сх(к+1)
= — £>.*<*> +
Ъ
(8.27)
кўринишдаги итерациядан
иборатдир. Б у тенгликни
х<к+1>
га
нисбатан ечсак:
х<*+
1
) == _
С-Ю х^
+
с-^ь.
(8.28)
Бу эса, Зейдел методининг матрицасй — С-10 бўлган оддий ите-
рацияга тенг кучли эканлигини кўрсатади. Демак, 1-теоремага
13 4
www.ziyouz.com kutubxonasi
\
\
\
кўра Зейдел мёҳодининг яқинлашувчи бўлиши учун — С-1Л мат-
рицанинг барча хос сонлари модуллари бўйича бирдан кичик бў-
лиши зарур ва кифоядир. Шунинг учун ҳам
'
\ (Зе
1
( Х £ + С - 1£>) = 0
(8.29)
тенгламанинг барча йлдизлэри модуллари бўйича бирдан кичик
бўлиши керак. Агар бу тенглама илдизларининг ушэу
'
(]е!( С •- / ) ) -0
(8.30)
тенглама илдизлари билан устма-уст тушишини кўрсатсак, теоре-
ма исбот бўлади. Бу зса қуйидагича кўрсатилади:
(Зе1 (X
Ь
+
С- Ю)
= (1е1 [С~?С (X
Е
+
С~'В)
| = сЗе! 1С -](Х С +
В)\
=
= (ЗеЗС
- 1
-с1е' (X С +
£)).
Бу ерда ёеЗ С
- 1
+ 0 бўлганлиги учун (8.29) ва (8.30) бир хил
илдизларга эга.
^ _
_
Агар биз (8.28) ни х<*+1>
+ г деб олиб, оддий итера-
ция методи билан ечадиган бўлсак, у ҳолда (3.28) жараённинг
яқинлашиши учун
— т
+ 2 • •
Ьц
— т • • •
Ь*
П
Ьа\
Ьп
2 • • •
т
(8.31)
тенгламанинг барча у ,,
у2.
• • • . Т« нлдизлари модуллари бўйича
бирдан кичик бўлиши керак.
.
(8.26) ва (8.31) тенгламаларни солиштириб кўрсак, оддий
итерация методи билан Зейдел методининг яқинлашиш соҳа-
лари, умуман, фарқли деган фикрга келамиз. Ҳақиқатан ҳам,
шундай системалар мавжудки, улар учун оддий итерация мето-
ди яқинлашади. Зейдел методи эса узоқлашади ва аксинча
шундай системаларни келтириш мумкинки, улар учун Зейдел
методи яқинлашувчи бўлиб, оддий
итерация методи узоқла-
шади.
Лекин (8.21) ёки (8.22) шартларнинг бирортаси бажарилса,
оддий итерацияга нисбатан Зейдел методи тезроқ яқинлашади. :
Бу қуйидаги теоремада янада аниқроқ ифодаланган.
6
-т е о р е м а . Агар қуйидаги
т а х
I
п
£4
аи
а и \
<
1
,
т а х
I
л,
1
-+у
<
1
шартларнинг бирортаси бажарилса, у ҳолда йхтиёрий дастлабки-
яқинлашиш х (Э> учун Зейдел методи яқинлашади ва бу яқинлашиш
биринчи шарт бажарилганда оддий итерация методининг яқинла-
шишидан секин эмас.
1 3 5
www.ziyouz.com kutubxonasi
И сб о т . Қуйидаги белгилашларни киритамиз:
а
Ь
п
<
+ ' = _
1Ги
’
Ь
=
^ = т ,а х
2 М
/
(8 -32)
«Фараз қилайлик, биринчи шарт бажарилсин у ҳолда р .< 1 бўла-
„ди. Бу белгилашларда Зейдел методи уш бу /
/ - 1
п
/■
+ (*+1>= ^
аих(к+1'>-\-
2
ацХ^
4-
(8.33)
.
/= 1
/=
1+1
схема бўйича олиб борилади. Бундан ташқари теореманинг бирин-
шарти бажарилганда
х = В х - \ - с
система ягона ечимга эга, бу
счимни масалан, оддий итерация билан топиш мумкин. Демак,
Х1 —
2
аЧ
х:/ + Р/-
/=
1
.
1 + 1
|8 .3 4 ) дан (8.33) ни айириб модулларга ўтсак,
1-1
п
(8.34)
К;1
\Х 1
-
х } к + 1 ) \
+ 2 N И -
х 1к ) \ <
тах
\х / -
/=1
1=1+1
/
/ - 1
п
— х \ к>\
2
К
,1
+ т ах
2
К / ! =
1
! ^ - ^ +
1
)
11
. Х
/ = 1
]
1 - 1
1
=
1+1
х 2 н \ + \ \ х - х <к%
2
К
/1
1=1
1=1
+1
хелиб чиқади. Қуйидаги
/— 1
п
л =
2
к /!-
2
К
/1
1=1
1=1+1
■Селгилашларни киритсак,
\ х
I —
л:<*+1>| <
р \ \ х
—
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
