Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


bet81/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   77   78   79   80   81   82   83   84   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

 
.*;<'г+ 1>||1
+
дфс — 
х ( к \
 
(8.35)
•бўлади. Фараз қилайлик, т а х
\х(
 — лс
<.*+"1
 >[ га / =
5
 =
з(к)
бўлганда
1
^ришилсин:
— •*++1>| = т а х

г — х<*+1>| = ||л: — лг(А'+
1
)Ц1.
■■V вақтда (8.35) да г =
5
деб олиб,
Дд: — 
л
<а+ 1>||1
< рДл:.— х
<1г+ 1>!|1
+ ^||3с — л
:<А>||1
€ки
1
|х — Х
<++1>||1
<
\\х — х 1к%
1 3 6
www.ziyouz.com kutubxonasi


тенгсизликка эга бўламиз. Агар
[ц = т а х
I
41
1
—Р1
леб олсак, у ҳолда
||£ — 
х
<а+1>[|1 <
[ ^ Ц х
 — 
х ^ к %
тенгсизликка эга бўламиз.
Энди (х, < [», эканлигини кўрсатамиз.
Ҳақиқатан ҳам, (8.32) га кўра
п
Р
1
 + И — 
2
бўлганлиги учун
1=1. 1Ф1
Демак,
Ч 1 < Р —Р1-
41 
Р — Р1 
Р — №1
<
------- 1- < Т ------— = {».
1—
Р1
^ 1 — 
Р1

— Р1
Бундан зса
> !< (»•
келиб чиқади. (8.36) тенгсизликдан
\\х
 — 
л ( * + 1 ) || 
<
|
а
*[+ 1 [ |
л
: — :х;<0 > ||1
<8-36)
(8.37)
яи ҳосил қиламиз. Бу эса теореманинг биринчи шарти бажарил-
ганда Зейдел методининг яқинлашишлигини билдиради. (8.37) тенг-
сизлик эса Зейдел методининг яқинлашиши оддий итерация мето-
дига нисбатан секин эмяслигини кўрсатадц.
Энди теореманинг иккинчи шарти бажарилганда Зейдел мето-
Дининг яқинлашишлигини кўрсатамиз.
П 
.
Биз бу ерда [У = 2 1я ц1 
оламиз.
/=
1

1ф!
Фараз қилайлик, 
х = {х
^ х 2, . . . , 
х п)'
ва 
х {к)
=
{х^к\ х<2к\
х<к))'
мос равишда 
х = В х - \ - с
 
системанинг ечими ва ЗейдеЛг
жараёнининг 
к-
 яқинлашиши бўлсин. У ҳолда
/-1
п
Х 1
=
2
а ИХ 1
+
2
а Ч Х 1
+
@1 
/=1
 
/=/+1
/—1
п
х \к+1)
= 2
 
* ^ <к+г)
+
2
 
+ &
1=1 
1=1+1

=
1 , 2
............
п).
13?
www.ziyouz.com kutubxonasi


Булардан
/—1 
п
1*1 —*{*+1,[ < 21«и11*у — *}*+1)1+ 2 \л1&\х} — х\к)\
/ = 1
 
/ = / + 1
келиб чиқади. Бу тенгсизликларни барча /.== 1 , 2 , . . . , « лар
бўйича йиғамиз:
2 1*, -
:“к 2 2
1
- д:1*+,,|+ 2 2 |а«| 
'х 1 ~
/=1 

1

1 / = 1
 
/ = 1

= /+1 
'
^амда йиғиш тартибини ўзгартғрсак,
1=1 
/= 1
/= /+ 1
+ 2 1 * > - * } * ,1 2 М -
(8.38)
/ = 1
 
/=п
Энди
п 
/ - 1
“ 2 1а.у!. = 2 1 4 (/ = !> 2........... - 1)
/ = / + 1
 
1=1
ва
п
~ 0 , / „ =
2
[а 1/1
‘=
1
. !+/-■ 

деб оламиз. Кўриниб турибдики,
П
5 _ / + / у =
2
I0'-!/! ^
1
л'/ <
1
 •
1
=
1

1+1
Бундан эса, 
5
у< 1 келиб чиқади. (8.38) тенгсизлик қуйидаги
2 [*, - *{*+1,| < 2 +!+■ - х/к+1)\+ 2
~ *Г1
й
-»1
 
/ “ 1
 
У
= 1
€ки
2
(
1
- М * / - * } * +
1
,| <
2
*/ ! * / - * < + !
/ = 
1
 
/=1 
кўринишга эга бўлади.
Энди /; <
— 
5
;- < |х'—
5
/(
а
' = ^'(1 — 
5
;) бўлганлиги учун
• 
2 0
-
+ ) ! + -
 
*}*+1,1
 
2
(
1
-
 
5
/ )
1
х
у. -
* < * > ! < (
р
')*2
 
(1
/=1
;=1
■5;)!
х
г - х].°>)
/=1
138
www.ziyouz.com kutubxonasi


келиб чиқади. Бундан зса, [х' < 1 бўлганлиги учун
П
ҳосил бўлади. Демак,
Птх<.&) = л:у (у =
1

2
, . . . , 
п)
к-+
оо
ҳосил бўлиб, шу билан теорема тўлиқ исбот қилинди.
Энди мисол кўрамиз.
Мисол. Зейдел метсди билан (8.24) системанинг ечими 5 хона аниқлшс- 
да топилсин.
Е ч и ш. Г8 24) системани (8.25) кўринишда ёзиб оламиз ва дастлабки 
яқинлашиш 
х
<0) си4 атида оддий итерация методидагидек Д 0) = (0,6; 0,44; 
0,95; 1; 1,6)' деб оламиз. Бу ерда итерациянинг фақат бир қадамини келти- 
рамиз:
х \ 1)
= 0 , 6 - 0 , 1Д,0) + 0 , 3 4 0) +0,2л:<0) — 0 ,1 ^ 0) = 0,6 — 0,1 -0,44 + О.ЗХ 
ХО,95 +
0 ,2 -1 -0 ,1 -1 ,6

0,881;
X <]) = 0,44 + О ^ - л 41’ — 0,04.л:<0> + 0 ,2 ^ 0)+ 0 ,0 8 4 0> = °.44 + 0,04-0,881— 
— 0,04 0,95 + 0 ,2 -1 + 0,08-1,6 = 0,771; 
.
4 ]) = 0,95 + 0.1ДД + О.Об-кў* + 0,1 Д 0) — 0,15+10) = 0,95 + 0,1-0,881 +
+ 0,05-0,771 + 0,1-1 — 0,15-0,16 = 0,937;
4 1) = 1 — 0 ,1 4 1) + 0,1х<и + 0 ,5 4 °’ = 1.817;
4 1» = 1,6+0,054,)+ 0 .1 4 1* + О.ОбД1’ + О .Ц 11 “ 1.948.
Кейинги яқинлашишлар 14- жадвалда келтирилган.
Бу ерда 6 -теореманинг шарти ўринли бўлганлиги учун оддий итерация- 
га нисбатан Зейдел итерацияси тезроқ яқинлашмоқда.

14- жадвал
к
.*<*)
Х1
,(*)
х2
А к)
хз
х (к) 
 
х 4
М
л 5
0
0,6
0,44
0,95
1
1,6
1
0,881
0,771
0,937
1,817
1,948
2
0,973
0,961
0,985
1,974
1,992
3
0,995
0,995
0,999
1,996
1,999
4
0,9995
0,9991
0.9997
1,9995
1,9998
5
0,99992
0,99989
0,99997
1,99991
1,99997
6
0,99999
0,99998
0,99999
1,99999
2,00000
9- §. ГРАДИЕНТЛАР (ЗНГ ТЕЗ ТУШИШ) МЕТОДИ
Бу метод ҳақиқий симметрик мусбат аниқланган матрицали,
чизиқли алгебраик тенгламалар
А х =
Ъ
(9.1)
системасини ечиш учун мўлжалланган.
139
www.ziyouz.com kutubxonasi


Градиентлар. методини баён қилишдан аввал функционал гради-
енти тушунчасига қисқача тўхталиб ўтамиз.
Фараз қилайлик, 
/ ( х ) п
ўлчовли 
х = {хи х 2, 
, х п)'
век-
торнинг бирор функционали бўлиб, 
у = {уи
у 2, . . . , 
у пу
узун-
лиги бирга тенг бўлган вектор бўлсин.
Функциянинг ўсиш ёки камайиш тезлигини унинг ҳосиласи ха-
рактерлаганидек, / функционалнинг 
х
„аргументи“ у 
йўналиши
бўйича ўзгарганда, унинг ўзгариш тезлигини функционалнинг ҳ о -
силаси аниқлайди. /
функционалшнг х нуқтада у йўналииш
бўйияа ҳосиласи
деб ушбу
д/(х)
ду
]
1
Ш / й + «~?) —
/(х)
о
-+-0
а
/~а/ ( х
+ “У)1«=о
ифодага айтилади. Бу таърифдан
"
А х
+
«у) 
=
А х \ + а Уи 
х 2
+
а Ў 2
..............
.......
+ “
Ў п )
бўлганлиги учун
бу ерда
^ д Г
=
+
*Уи
 
+
а У ъ
-------
Хп +
 
аУл)1а=0
д/(хГ
 

д/(х)
 

д/(7)
 
- —

дХ1
У 1 +
Уа + - ' - + 5 1 7 У « = (^ У),
(9.2)
2
= (
21
. « * , • • • ,
2
«)', 
2
;
дДх)
дх I
г
вектор 
/ ( х ) функционалнинг градиенти
дейилади. (9.2) тенг-
ликда |(у |) =
1
бўлганлиги учун
/~ лл
Л = | |
2
,|с о з(г , у)
ду
келиб чиқади, бундан эса
1|2|| < ^
< 1М (.
Ш у билан бирга агар у_нинг йўналиши градиент йўналиши
д/(х)
 
-. 
_
билан устма-уст тушса, 
==\\г\\
ва у нинг йўналиши градиент
д/(х)
 
_
йўналишига қарама-қарши бўлса, — 
= — 
\[г\\.
Шундай қилиб,.
0 /
градиент йўналиши бўйлаб 
/ ( х )
функционал катта тезлик билан
ў'сар зкац ва градиент йўналишига тескари бўлган йўналиш б ў -
йича у катта тезлик билан камаяр зкан.
Энди градиентлар методига ўтамиз.
Градиентлар методида (9.1) системани ечиш учун
/ ( х )
= (
А х , ~) — 2(Ь, ~)
( 9 , 3 )
140
www.ziyouz.com kutubxonasi


функционал қаралади. Бу функционал 
х и
х 2, . . . , 
х п
ларга нис-
батан иккинчи тартибли кўпҳаддир. х * орқали (9.1) системанинг
ечимини, яъни 
х* = А~1Ь
ни белгилаймиз.
А
матрица симметрик ва мусбат аниҳланган бўлганлиги учун
/ ( х ) — /(х*)
 =
(Ах, х) — 2(Ь, х) —
 (Л х*, х*) + 2
(Ь, х*)
=
=
(Ах, х) — 2(Ах*,
х) — (Л х*, х * ) +
2(Ах*, х)
 =
(Ах, х)
 —
— 
(Ах*, х)
 — (Л х*, х ) +
( А х \ х*) = (А(х
 — х*), х — х * ) > 0 .
Ш у билан бирга сўнгги ифодада х = х*
бўлгандагина, тенглик
ишораси ўринли бўлади. Шундай қилиб, (9.1) системани ечиш
масаласи (9.3) функционални минимумга айлантирадиган х* вектор-
ни топишга келтирилади. Бундай векторни топиш учун қуйидаги-
ча иш кўрамиз.
Фараз қилайлик, х (0) ихтиёрий дастлабки яқинлашиш вектори
бўлсин- (9.3) функционалнинг градиентини ҳисоблаймиз:
д/(х) 
д

_
й 
,
—. 
— 
— — 
-
=
£ , / ( х
+ ау)[„_о =
^ (А(х
 +
ау)
-
2
Ь, X
 +ау)[а=о =
=
Ха
 1а2(л +
У) ~ 2а(Ь— А х , у)
+ /(х)]а=о = — 2 
(Ь — Ах, у)
 =»
=
2
(Л х — 
Ъ,
у).
Буни (9.2) билан солиштириб, / ( х ) нинг градиенти 2
(Ах — Ь)
га
тенг эканлигини кўрамиз. Кейинги текширишларда фақат градиент-
нинг йўналишигина керак бўлганлиги учун градиент ўрнига мус-
бат кўпайтувчи 2 ни ташлаб, Л х — 
Ь
векторни қараймиз. х (о> нуқ-
тада йўналиши градиент йўналишига теекари бўлган векторни г (0>
орқали белгилаймиз:
ў(о)= / ’_ Л х (°). 
(9.4)
Бу вектор (9.1) 
системанинг хатолик вектори
дейилади.
Л°) векторнинг йўналишида / ( х ) функционалнинг х (0> нуқтадаги
камайиш тезлиги энг катта бўлади. х (0> нуқтадан бошлаб г (0) йў-
яалиш бўйича / ( х (0) + аг(0)) минимал қийматига эришгунга қадар
ҳаракатни давом эттирамиз. Бу нуқтани
1/(х< °> + аг(0)) = 2а(Л г(0), г(0)) — 2

 — Л х (0), г (0)) = 0
тенгламадан топамиз:
“о —
(7<0), 
г(0)) 
(7(0), л 7 (0))
(9.5)
А
матрица мусб_ат аниқланган_бўлганлиги сабабли барча г (0)=+
ФО
учун (г(0), Л г(
0
)) > 0 . Агар г (0)= 0 бўлса, у ҳолда (9.4) дан

Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   77   78   79   80   81   82   83   84   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish