Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

тенгликда 
к —>о
о лимитга ў т с ж ,
'
Пт 
Въ
 = 0
к-*-
оо
келиб чиқади, бундан эса 7 - § даги 1-леммага кўра 
В
матрица>
нинг барча хос сонларининг модуллари бирдан кичиклиги кўри-
нади.
128
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

К и ф о я л и г и . (8.13) орқали аниқланадиган барча яқиплашиш-
ларни дастлабки вектор ас(У> ва 
с
орқали ифодалаймиз:
*'<*) =
+ с = В{Вх<к- ^
+
с)
+
с
 =
В2х 1к~21
+
{Е
 +
В)с
 =
= . . . =
ВкхЮ
+
{Е
 +
В
 + . . . 
В ^ с .
Энди, фараз қилайлик, 
В
нинг барча хос сонлари бирдан кичик
бўлсин. У ҳолда 7 -§ даги 1-лемма ва 4-теоремага кўра
В к~ ^
0, 
Е + В + В2
+ . . . +
Вк- Х
 ->
{Е
 -
В ) - \
к-*
оо
Демак, х (0> қандай бўлишидан қатъи назар + А> яқинлашувчв
кетма-кетликдир.
Исбот қилинган теорема назарий жиҳатдан фойдали, чунки у
мавжуд ҳақиқатни аниқ ифодалайди. Лекин, амалий ишлар у ч у а
ярамайди. Энди 
В
матрицанинг элементлари орқали ифодаланади-
ган кифоялилик белгисини келтирамиз.
2 -т ео р ем а . (8.13) оддий итерация жараёнининг яқинлашувчн
бўлиши учун 
В
матрицанинг бирор нормаси бирдан кичик бўл и-
ши кифоядир.
И сбот. Ҳақиқатан ҳам, агар | | 5 р < 1 бўлса, 7 - § даги 3-лем -
мага кўра бу матрицанинг барча хос сонлари модуллари бўйича
бирдан кичик бўлиб, бундан 
1
-теоремага асосан оддий итерацион
жараённинг яқинлашишлиги келиб чиқади.
2
-
теорема бир неча қулай кифоялилик белгиларини келтириш-
га имкон беради.
3 -
теорем а. (8.13) оддий итерация жараёни яқинлашиши у ч у а
В
матрицанинг элементлари қуйидаги
П
шах 
+ ! * < *> 
(8.14)
1
/ =
1
шах ^
< I1- < Ь 
(8.15)'
I 1=1
п
2
 
1
М
2 + ! * < 1
 
(8-16).
I. 1 = 1
тенгсизликларнинг бирортасини қаноатлантириши кифоядир.
Агар биз
П
П
||5 ||
1
= т а х 2 > * ; 1 . №
 = ш а х 2 | * , ;|
1
 
1=1 
1 1=1
нормаларни эсласак, теоремадаги аввалги иккита шарт 
2
- теск]%ка-
дан келиб чиқади. Охирги шартдаги тенгсизлик эса, ||^|[з = >/ +
нинг бирдан кичик эканлигини кўрсатади. Ҳақиқатан ҳам, бу ер-
да 
В'В
матрицанинг энг катта хос сони бўлганлиги ва 
В'£$■
нинг барча хос сонлари манфий бўлмаганлиги учун
+ * • » + • • • + + •
,12®'
9 —2105
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

' -Лекин бу тенгсизликнинг ўнг томояидаги ифода 
В'В
нинг изига
(яъни 5'5.м атрица диагонал элементларининг йиғиндисиға) тенг
П
 
.
бўлиб, у 
эса 
2
 
| + ; |2
га тенгдир.
1,1
=1
 
■ 
■
. 
Энди яқинлашиш тезлигини баҳолайдиган қуйидаги теореманн
келтирамиз. 
. 
■
4 - 
теор ем а. Агар 
В
матрицанинг, 
х
векторнинг берилган нор-
масига мосланган бирор нормаси бирдан кичик бўлса, у ҳойда
(8.13) оддий итерация методининг хатоси қуйидагича баҳоланади:
И сбот. Тео[ема шартига кўра ||/? ||< 1 , шунинг учун ҳам
х* = ( £ +
В
 +
В2
 + . . . +
Вк~1
 + , .
.)с.
 
(8.17)
Бу тенгликни (8.15) дан айирсак,
х
* — 
х к —
 — 5Ъс<°> +
(Вк
 +
Вк+1
+ . . 
,)с.
 
(8.18)
Бундан зса 
.
Р *
+
\\в\\*
 
| | » | | + (ЦВЦ* +
ц в ц ^
 + • • •) Й1 =
№ \ кй 0)\и-
■
 
, 
+ 1 - ( | В | | -
Шуни исботлаш талаб қилинган эди. Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш
керакки, агар х(°> сифатида озод ҳадлар устуни 
с
олингац бўлса,
у ҳолда итерациянинг хатоси қуйидагича баҳоланади:
. 
—» > | | < 1| р ^
1
||д
|{с11
■ 
(8.1,9)
Ҳақиқатан ҳам, » = < 7 деб олсак, у ҳолда (8.18) ўрнига
л* — 
х к—
 (
В
к+ 1
 +
Вк+2
 + . . . ) < ?
тенгликка эга бўламиз, бундан эса (8.19) келиб чиқади.
Энди (8.11) системани (8.12) кўринишга келтириш ва оддий
итерациянинг амалда қўлланилиши устида тўхталиб ўтамиз. Ш у
мақсадда ихтиёрий махсусмас 
Р
матрица олиб, итерациянинг қу-
йидаги
Х&+1) = (Е — РА)хЮ ■+Рс
 
(8.20)
кўринишда ёзиш мумкин. Албатта, 
Р
матрица шундай танланган
бўлиши керакки, 
.
В — Е — РА
матрица учун яқинлашиш шарти бажарилсин. Қуйидаги иккита х у -
сусий ҳолнй кўриб чиқамиз.
1
. 
Р = Е>~1,
бу ерда 
О
диагонал матрица бўлиб, диагонал
130
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

млементлари 
А
матрицанинг диагонал элемёнтлари билан устма-
уст тушсин. Бу ҳолда (8.20) итерация жараёнини тузиш
4" 
а \\х г
Ч" • • • + + Л = ^
1
»
«
21
+ + Й
22Х 2
+ • • • + #
2
/
1+1
 
~ &2,
.а П\Х\ -\- а п2Х2
+ • • • 
а ппх п
---
Ьп
система тенгламаларини мос равишда 
а и , а п ,
. . . .
а пп
ларга бў-
либ, ҳосил бўлган тенгламаларда 
х и х 2, . .
. , 
х п
ларни мос ра-
нишда чап томонда қолднриб, қолганларшш ўнг томонга ўтка-
зишдан иборатдир. Натижада,
Ь\
а12
Хх =
—
«11
а п
ь,
« 2 1
х 2 = '
"
« 2 2
# 2 2
х п =
Ъп
ап\
а пп
а пп
а и
«'
а2П
а‘П
‘ XПУ
-п> п -
Х-п —
пп
системага эга бўламиз. Албатта бу усулни қўллаш мумкин бўли-
ши учун барча 
а и
лар нолдан фзрқли бўлиши керак. Бундан таш-
қари диагонал элементларнинг модуллари бошқа элементларининг
модулларидан анча катта бўлиши керак. Аниқроғи қуйидаги тенг-
сизликларнинг бирортаси балсарилиши лозим:
2
\аЧ
* 
1=1. Ш
: 
1
+т | .
т а х 'У
I
п
 
1
 
'
— } <
1 
п - \
»
и и\
/ = I
1
 
/=177^1
(
8
.
21
)
(
8
.
22
)
(8.23)
Бу тенгсизликлар бажарилса, у ҳолда мос равишда (8.14) —
(8.16) тенгсизликлар ҳам бажарилади.
2. 
Р = А~1 — &,
бу ерда £ = [+,•] элементларининг модуллари
етарлича кичик бўлган матрицадир. Бу ҳолда (8.20) тенглик_
х 1к+1)
— 
еАх^)
 + (А
- 1
 — 
&)с
кўринишга эга бўлиб, 
вА
матрица яқинлашиш шартияи қаноат-
лантиради.
, (8.11) системани 
Р
 га кўпайтириш система тенгламалари
устида элементар алмаштириш бажариш билан тенг кучлидир.
О датда 
Р
ни 2-кўринишда олинганда мисол ечиш учун қу-
йидагича иш тутилади. Берилган системадан шундай тенгла-
131
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

маларни ажратиб олинадики, бу тенгламаларда бирор номаъ-
л ум олдидаги коэффициент модули бўйича шу тенгламанинг
колган барча коэффициентлари модулларининг йиғиндисидан
катта бўлсин. Ажратилган тенгламалар шундай жойлаштири-
ладики, уларнинг энг катта коэффициентлари диагонал коэф-
с}шциентлари бўлсин. Тенгламаларнинг қолганларидан ва аж-
ратилганларидан юқоридаги принцип сақланадиган, яъни энг
катта коэффициент диагонал коэффициент бўладиган қилиб ўз-
ар о чизидли эркли бўлган чизиқли комбинациялар тузилади ва
барча бўш сатрлар тўлдирилади. Шу билан бирга дастлабки
системанинг ҳар бир тенгламаси янги система тенгламаларини
тузаётганда қатнашиши керак.
Бу ерда кўрсатилган усулларни мисолларда тушунтнрамиз,
1
- м и с о л . Қуйидаги система одий итерация методи билан ечилсин:
Юх
4
-р 
Х
‘2
— 
Зх3
— 2х
4
х 3
=
6
,
— 
Х
1
+
25лг3 +
х 3
— 
5
х а
— 
2хь
= 1 1 ,
• 2х
4
+
х
2 
— 
2 0
х
3 + 2
х
{
— 
Зхь
= — 19, 
(8.24)
х 3 
х 3 +
Юх
4
— 
6
x
5
= 10,
X] + 2ха +
х 3
+ 2
х
4 — 20
х
5 = — 32
Е ч и ш. Биринчи усулда айтилганидек, бу системанинг тенгламаларини 
мос равишда 10, 25, —20, 10, —20 ларга бўлиб, қуйидаги кўринишда ёзиб 
>юламиз:
х 4 
=
0,6 — 0,1х^ + 0,Зх3 
+ 0 ,2
х
4 
— 0,1х5, 
х2 = 0,44 + 0.04х, — 0,04х3 + 0,2х4 + 0,08х5,
■
х 3
= 0,95 + 0,1 х 4 + 0,05х3 + 0,1х4 — 0,15х6. 
(8.25)
х 4 = 1 — 0,1 х2 + 0,1х3 + 0,5х6, ■
х5 = 1,6 + 0,05х4 + 0,1х3 + 0,05х3 + 0,1х4.
■Бу ерда (8.14) даги йиғиндилар мос равишда 0,7; 0,36; 0,4; 0,7; 0,3 бўлиб, 
булардан эса ЦВф = 0,7 < 1 келиб чиқади.
Дастлабки яқинлашиш х <0) сифатида озод ҳадлар устуни (0,6; 0,44; 0,95; 
3; 1,6)' ни олиб, кейинги яқинлашишларни топамиз:
х}1* = 0,6 - 0,1х^0) + 0,3х^0) + О,2х^0) — 0,1х^0) = 0,6 - 0,1-0,44 + 0,3-0,95 +