Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


бинацияси ёрдамима ифодалаш мумкин


bet125/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   121   122   123   124   125   126   127   128   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

бинацияси ёрдамима ифодалаш мумкин. 
Ўнг томонда эса / = у '
бўлгандагина фақат битта интеграл бирга, қолганлари нолга тенг:
ь
а .
 |
р(х)Р*(х)с1х
= 0.
а
 
ч
Демак, барча у 
< п
 — 2 лар учун + = = 0 . 
Шундай қилиб, (4.2)
тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:
х Р п(х)
=
ап- 1Рп-
1
(х)
 +
апРп(х)
+
р п+х(х).
 
(4.3)
гп+1
Бу ерда 
а
п - 1
ни аниқлаш учун (4.3) ни р
(х)Рп~\(х)
га кўпайти-
 
риб, [
а , Ь\
бўйича интеграллаймиз. Натижада
ь 
ь
а-п
- 1
= | р
(х)хРп^ ( х ) Р п(х)с1х
 =
( р(х)[
1
лях л+ . . .)Х
а 
Р-" 
а
Ь
Х Р п(х)с1,х
=
| р
(х)Р2„(х)с1х
Р-п 
£
Буни (4.3) га қўйсак, (4.1) келиб чиқади.
Рп-1 
Рп '
268
www.ziyouz.com kutubxonasi


Шуни ҳам таъкидлаш керакки, Р _ ,(х ) = 0 деб олсак, (4.1) фор*
мула барча 
п
> 0 учун ўринли бўлади.
К р и ст оф ел -Д ар бу айнияти. Ортогонал кўпҳадлар назария-
сида муҳим аҳамиятга эга бўлган 
Кристофел-Дарбу айнияти-
ни
чиқарамиз. 
7
2 -т ео р ем а . Ортонормал кўпҳадлар учун ушЗу Кристофел-Дар-
б у айнияти ўринлидир
^ Р к{х)Р,Ау)
й= 0

(х«+1
Рп +1(Х)РП(У)
 — 
Рп(х)Рп+1<-У) 
х — у
И сбот. (4.1) тенгликни 
Р„(
у )'га кўпайтирамиз:
(4.4)
Рп+1(х)Рп{у) = { х - *п)Ра{х)Рп(у) - ^ Р п- Х(х)Рп(у),
бунда 
х ва у
ларнинг ўринларини алмаштирамиз:
Рп+1(у)Ра(х)
= (у -
ап)Ра(х)Рп(у)
-
^
 Рп-г(у)Р„(х)
. ва биринчи тенгликдан иккинчисини айирамиз:
(X -
у)Рп(х)Рп(у)
=
[Рп+1(х)Ра(у) - Рп+1(у)Рп(х)}
-
Рп
+ 1
- ^ = ± [ Р п(х)Рп- Х( у ) - Р п-,(х)Рп(у)1
Бу тенглик барча 
п
> 0 лар учун ўринли бўлганлиги сабабли,
уни барча 
и, п
 — 1, . . . , 2, 1, 0 номерлар учун қўшиб чиқсак,
(4.4) тенглик келиб чиқади.
Ортогонал к ўп ҳадлар нолларининг хоссал ар и . Ортогонал
кўпҳадлар ҳисоблаш жараёнлари—интерполяция, тақрибий диффе-
ренциаллаш ва тақрибий интеграллашда кенг қўлланилади. Бу зса,
асосан, ортогонал кўпҳадларнинг ноллари ажойиб хоссаларга эга
бўлганлиги туфайлидир.
3- 
теор ем а. 
(а, Ь
) оралиқда ортогонал 
Рп(х)
кўпҳаднинг бар-
ча илдизлари ҳақиқий ва ҳар хил бўлиб, 
улар 
(а, Ь)
интервалда
ётади.
И сбот. 
Рп(х)
кўпҳаднинг тоқ каррали ва 
(а, Ъ)
да ётувчи
илдизларини кўриб чиқайлик. Фараз қилайлик, 
бу илдизларнинг
сони 
т
бўлиб, улар 
х[, х'2,
. . . , 
х'т
бўлсин. Теорема исботлани-
ши учун 
т = и
эканлигини кўрсатиш кифоядир, чунки бундан
Рп(х)
нинг бошқа илдизлари мавжуд эмаслиги ва уларнииг туб-
лиги келиб чиқади. Тескарисини фараз қилайлик, яъни 
т < Ш
бўлсин. Ушбу
д(х) = (х — х})
. . . 
(х — х'т)
кўпҳадни тузамиз. Унинг 
т
даражаси 
п
дан кичиклиги сабабли
| р
(х)Рп(х)д(х)с1х
 = 0
269
www.ziyouz.com kutubxonasi


бўлиши керак. Аммо бу тенглик бажарилмайди, чунки 
д(х)
ва 
1
Рп(х)
ларнинг - ишоралари бир хил нуқталарда алмашинади ва 
1
д(х)Рп(х)
кўпайтма 
\а, Ь
] да ўз ишорасини сақлайди. Бундан таш- 
*
қари 
д(х)Рп(х)
фақат чекли сондаги нуқталардагина нолга айла- 
|
нади, шунинг учун ҳам юқоридаги ифода айнан ноль эмас. Демак, 
]
Ь
 
:
леммага кўра | р
(х)д(х)Рп(х)йх
 нолдан 
фарқли 
бўлиши керак. 
:
а
 

'I.
Шундай қилиб, қарама-қаршилик 
келио чиқади. 
Теорема исбот- 
:
ланди. 
,
5 -§ . ЭНГ КЎП ҚЎЛЛАНИЛАДИГАН ОРТОГОНАЛ 
КЎПҲАДЛАР СИСТЕМАЛАРИ
Қуйида ҳисоблаш математикасида кўп қўлланиладиган орто-
гонал кўпҳадлар систёмаларини келтирамиз. 
Биз бу системалар-
нинг берилган вазн бўйича ортогонал системани ташкил этишла-
рини исботлашни, рекуррент муносабатлар келтириб чиқаришни,
шунингдек, уларнинг нормаларига топиш билан боғлиқ бўлган ҳи-
соблашларни бажаришни ўқувчиларнинг ўзларига ҳавола қиламиз
(шунингдек, [9, 37] дан ҳам қарашлари мумкин.)
Якоби к ўп ҳадл ар и . Қуйидаги
р п
Р)(х ) = (- ^ д г (1 “
х )~ а 
(1 +
х)~ 9
 
1(1 “
х)а+п{
1 +
Х)ПЧ
кўпҳадлар 
Якоба кўпҳадлара
деб аталади. Булар [ — 1,1] ора-
лиқда
р(дс) = ( 1 —
х)а
(1 -|- 
х)?
вазн билан ортогонал кўпҳадлар системасини ташкил этади. Улар-
нинг нормалари:
I
\р{п'
Р)1) =
| (1 
— х у
(1 +
х ў
[/>„<“• 
*\х)]Чх
 =
. =
Г 2*-НМ-1Г(а 
+ я +
1)Г(р +
п 
+ 1) 
1 1 / 2 
_ и!(а ~}~ 
2 п
 
1
)
1 1
(а--}-|
3
-{~/
2
-)- 1)
Улар қуйидаги рекуррент муносабатларни қаноатлантиради:
(а 
+ р + 2
п )(а .
+ р + 2л + 1)(я + Р + 2л +
2
)хР ^
«(%) =
= 2 ( я + 1 ) ( а + р + / г + 1 ) ( а + р +
2 п ) Р ^ ) ( х )
+
- Я)(а
 + р +
+
2п
 +
1)Р<£-
Р>(х) + 2(а +
п)ф
+
п)(
х + р +
2п
+
2 ) Р ^ \ х ) .
Л еж андр к ўп ҳадл ари . Якоби кўпҳадларининг 
а —
 р = 0 ва
р(х)
= 1 бўлгандаги хусусий ҳоли 
Лежандр кўпҳадлари
деб
аталади ва улар 
Родриг формуласи
^-л(х ) =

Ох“ 
~
1)Л
870
www.ziyouz.com kutubxonasi


билан аниқланади. Унинг нормаси
1 М
- 1 /
г т т
Г 
-1
бўлиб, тегишли рекуррент муносабат эса
(п
 + 1)/.„+1(
д
:) — (2« +
\)хЬп(х)
 +
пЬп-\(х)
= 0 
(5.1)
дан иборат.
Лежандр кўпҳадларидан фойдаланиб, 
/ ( х ) £ 1 ? \
— 1, 1] функ-
ция учун ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлашувчи кўп-
ҳад қуриш мумкин. Бу кўпҳад
П
Чп(х)
= 2
а ^ ( * )
0
бўлиб, бу ерда
«й = ^ у ~ I
/ ( х ) Ь к(х)йх.
 
(5.2)
Энг кичик оғишининг миқдори қуйидагига тенг:
** = |
Ш
-
^п(х)?с1х = \ / \ х ) й х -
 
(5.3)
Лежандр кўпҳадининг дастлабки еттитаси қуйидагилардан иборат:
Ьй(х) = \,
Ц(х) = х ,
Ь2(х)
=
\ (Зх
2 — 1),
1 *з(х) =
\ ф х 3 

3х),
 
.
а д = - ^ (3 5 х * -3 0 л :2 + 3),
Ьй(х)
 = ^ (65л:5 -
70х3
+ 15л),
и ( х )
= ^ (231х6 — 3 1 5 х 4 + 105х2 — 5).
Мисол сифатида 
ў(х)
 = 1/(1 +
х2)
функцияни [—1, П оралиқда 4-дар^>
жали кўпҳад билан ўрта квадратик маънода яқинлаштирамиз.
Ечиш. Лежандрнинг тоқ индексли кўпҳадлари тоқ кўпҳад ва жуфт ии«
декслилари жуфт кўпҳад бўлгани учун (5.2) формулага кўра
П
 

9 / 
320 
\
йх
=
а3
=
аь
= 0, 
а0
=
«з = у (3 — я), ^ = — I 
3 4 п
----- — I.
271.
www.ziyouz.com kutubxonasi


Д ем ак ,
«= — [455тс — 1680 + 2 (7 5 6 0 — 2 4 1 5 л )л ;2 + (5 3 5 5 * — 1 6 8 0 0 )* 4];
64
Қуйидаги теорема ўринлидир.
1-теорема. 
Агар / ( х ) функция [— 1, 1] оралиқда узлуксиз
ва чегараланган 
/ ’{х)
ҳосилага эга бўлса, у ҳолда 
/ ( х )
функция-
нинг Лежандр кўпҳадлари бўйича Фурье қатори [ — 1, 1] оралиқ-
да унга текис яқинлашади.
Чебишевнинг биринчи тур кўпҳадлари. 
Биз 4- бобда та-
нишган 
Чебишевнинг биринчи тур кўпҳади
рекуррент муносабат келтириб чиқарилган эди. Чебишев биринчи
тур кўпҳадларининг дастлабки еттитаси қуйидагилардир;
а д =
1
,
Т / х )
= х ,
Т2(х)
 =
2х2
 — 1,
Тв(х) —
4 х 3 — 
Зх,
Т,к(х)
 = 8 х 4 — 8 х 2 + 1,
Т ъ(х)
 = 16 х 5 — 2 0 х 3 + 5 х , 
'
Т6(х)
= 3 2 х 6 — 4-8х4 + 18х2 — 1.
Энди [— 1, 1] оралиқда 
р(х) =
( 1 — х 2) 
вазнда квадрати билан
интегралланувчи 
/ (х )
функция учун Чебишевнинг биринчи тур
кўпҳадлари ёрдамида топилиши мумкин бўлган энг яхши яқин-
лашувчи
Тп(х)
== соз(/г агссоз 
х), \х\
^ 1,
1
[— 1, 1] оралиқда р(х) = (1 — 
х 2) 2
вазн билан ортогонал система-
ни ташкил этади. Бу кўпҳаднинг нормаси
\\тп\\
= У
|
+ ! 
У
1 — х2 

у
—, агар 
п
 > 0 бўлса,
га тенг. 4- бобда қуйидаги
Тп+\(х)
 = ?хГ„(х) — 
Тп-^Х)

П
<2п(х)
= 2
а кТк(х)
272
www.ziyouz.com kutubxonasi



Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   121   122   123   124   125   126   127   128   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish