Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


си нолдан фарқлилиги сабабли


bet124/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   120   121   122   123   124   125   126   127   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

си нолдан фарқлилиги сабабли 
Р(х)
 = (а 0ф0(х) +
а х(ўх(х)
+ . . . +
+
а п
фл
(
х
))2 кўпҳад айнан нолга тенг эмас. Демак, Грам детер-
минанти Гя нолдан фарқли ва (2.7) система ягона ечимга эга.
1- м и с о л. Ушбу 
/ ( х ) = V х
ни [0, 1] оралиқда, 
р(*) 
= 1 бўлганда би-
ринчи даражали кўпҳад билан ўрта квадратик маънода яқинлаштирилсин.
Е ч и ш. Бу ерда у
0
 = 1, 
у Ц х ) — х ,
р(лг) = 1 бўлгани учун
(?о>
?о) = ]' ГаГх =
1
, (?), <р0) = |
х й х = — ,
о 
о 
1
(?ъ 
|
х Ч х
 = I-, ( / , ?0) = |
V
х й х
=
( / ,
 
=
Г 
х У х й х =
Демак, (2.7) система

2
Яо+ 2 + “ 7


2
— 
йг\
 “Г — 
й \
 =* —

0
 

1 2
 
5
кўринишдадир.

4
4
 
4
Бундан 
а 0
= — , 
а х
= — бўлиб, изланаётган кўпҳад 
Р х( х )
= — (1 
3*)
15 

15
бўлади (19- чизма).
264
www.ziyouz.com kutubxonasi


2
- м и с о л .
1
-мисол вазн р(дс) =»
=
1
— 
х
бўлган ҳол учун ечилсин.
Вазнга нисбатан шуни айтиш мум-
кинки, у оралиқнинг чап четида ях-
широқ яқинлашишни 
таъминлайди.
Бу ҳолда

1
(?о . То) = ~ . («Ро. ?
1
> = — .
(?1. ?1) =

4
( / . <Ро) =
- 5'
( / . <Р1) = 3 5 ,
демак, (2.7) система қуйидаги кўри-
 
нишга эга: 




4
- «
о
+ - « 1 = Г5
I
I
 
4
- а° + 12 «1 = 35-
Бундан До =
_8
35’
«1 =
32
35’
Р М
= - (1 +4лг) (19- чизма).
3 -§ . ОРТОГОНАЛ КЎПҲАДЛАР СИСТЕМАСИ
Олдинги параграфдаги методнинг ноқулай томони шундан ибо-
ратки, яқинлашувчи умумлашган кўпҳаднинг коэффициентларини
топиш учун (2.4) системани ечишга тўғри келади, бу эса катта
п
лар учун жуда кўп меҳнат талаб қилади. Агар биз ихтиёрий
чизиқли эркли (
ф
„(
л
:)} система ўрнида {<|>„(х).} ортогонал кўпҳад-
лар системасини қарасак, у ҳолда (2.4) система соддалашлди.
Агар
ь
(Р, 0)
 = | р
(х)Р(х)^(х)йх
 = 0
а
бўлса, 
Р(х)
ва С2(х) 
функциялар \а, Ъ\ оралицда р(х) вазн
билан ортогонал,
хусусий ҳолда 
р(х)
= 1 бўл са,. 
Р(х)
ва (2(х)
функциялар 
[а, Ь\
оралиқда ортогонал дейилади.
Агар ихтиёрий 
к, I (I ф к)
индекслар учун
ь
| р (*Ж (*Ж (*)Ж е = 0 
(ЗЛ)
а
тенглик бажарилса, у ҳолда {ў,,(х )} функциялар системаси 
р(х)
вазн билан 
[а, Ь\
оралиқда 
ортогонал системани
ташкил эта-
ди дейилади.
Биз 3- бобда векторларни ортогоналлаштириш усулини кўриб
ўтган эдик. Бу ерда ҳам ихтиёрий чизиқли эркли кўпҳадлар сис-
темаси {ф„(х)} дан, хусусий ҳолда 
(хп)
системадан, 
[а, Ъ\
ора-
лиқда р(х) вазн билан ортогонал система тузиш мумкин.
2 6 5
www.ziyouz.com kutubxonasi


Т ео р ем а . Ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида ортогонал кўпҳад-
лар системаси ягонадир, бошқача айтганда, агар
Фо(^), ф,(х), . . . .
Уа(х), . . .

1 о ( х ) ,
Х Л Х )
.............
1 п ( х ),
• • •
системалар 
\а, Ь]
оралиқда р(л:) вазн билан ортогонал бўлган ик-
кита система бўлса, у ҳолда албатта

1
>п(х ) = * С п 1 п ( х )
( л - 0 ,
1, 
2, . . . )
бўлиши керак.
И сбот. Аввало ҳар хил даражадаги ва турли системадаги
кўпҳадларнинг ортогонал, яъни
ь
|
? ( х ) ^ к{х )у а (х )с 1 х
= 0 
( к ф I )
а
эканлигини кўрсатамиз. Аниқлик учун 
к~>1
деб олайлик. Хг(я)
ни ягона усул билан'
I
 

& (*)== 2
У - о
кўринишда ёзиш мумкин. Бундан (3.1) ни ҳисобга олган ҳолда
ь 

ь
5
р 
(х ш х ш х ¥ х
= 2 ^ 1
9(х )^](х ш х )^х
= о
а
 
/—0 
а
га эга бўламиз, чунки у < / <
к.
Энди 
ул(х)
нинг ф /л ) орқали тас-
вирланишида номери У < / бўлган барча 
коэффициентларнинғ
нолга тенглигини кўрсатамиз. Бунинг учун
ь
1
?(х )Ь (
х
)
ь
(
х
)^
х
а
интегрални қараймиз, бу ерда / < /. Бир томондан, исботлагани-
мизга кўра бу интеграл нолга тенг, иккинчи томондан эса
Ь 

Ь
| р(х)<1ц 
( х ^ х ^ й х
 = 2
С)
 | р(*Ж
(х)^^х)йх—
а
 
/ —0 
а
Ь
=
С Ь
|
9 (
х
Ц % х ¥
х - 
а
Ўнг томондаги интеграл нолдан фарқли, шунинг учун ҳам 
— 0.
Демак, барча / < / учун 
Сг
= 0, яъни
Ч х ) ^ с {Ц х ) .
Ш у билан теорема исботланади.
Агар ортогонал кўпҳадларга яна бирор қўшимча талаб қў®
266
www.ziyouz.com kutubxonasi


йилса, масалан, кўпҳаднинг бош коэффициенти бирга тенг бўли-
шини ёки бош коэффициенти мусбат бўлиб, нормаси
\ \ ь
«
?{х)$\{х)йх
бирга тенг бўлиши талаб қилинса, у ҳолда ортогонал кўпҳад яго»
иа равишда аниқланади. 
-
Ўзаро ортогонал ва нормалари бирга тенг бўлган кўпҳадлар
системаси 
ортонормал кўпҳадлар системаси
дейилади. Берил-
ган 
%{х),
фг(л:), . . . 
§п{х)
ортогонал системанинг ҳар бир кўп-
ҳадини уларнинг нормаларига бўлсак,
Р й{х)
«
Фо(-*) 
1№о11 ’
Р у{х)
=
'М-*) 
1 М ’ •
, Р п ( х )
М*)
ПФлИ ’ ■ * •
ортонормал система ҳосил бўлади. 
Юқорида айтганимизга кўра
берилган 
[а, Ь)
оралиқ ва 
[>{х)
вазн учун ортонормал кўпҳадлар
системаси ягонадир.
’ 
Энди ўрта квадратик маънода 
/{х)
функцияга энг яхши яқин-
лашувчи 
(ўп{х)
кўпҳадни ортонормал кўпҳадларнинг^чизиқли ком-
бинацияси шаклида излаймиз:
<2*(*) =
а 0Р0{х)
 +
а хР / х )
 + . . . +
а пРп{х).
Бу кўпҳаднинг козффициентлари 
а к
лар (2.7) системадан топила-
ди. Лекин бизнинг ҳолда
( Р 1 , Р } = * Ч
бўлгани учун
ь
«А = ( / . Л ,) “= 1 Р
(х)/(х)Рк(х)йх
а
бўлади ва энг кичик оғиш эеа
ь 
ь
Ч ~
| Р М [ / М — 
<Зп( х) ]Чх =
|
р{х)/2{х)йх —
а 
а
.
п
Ь
 
п 
п 
Ь

 2 2
ак
 |
р{х)ў(х)
 • 
р к(х)йх
 
+ 2 2 а ь
а 1
1
9
(х)Рк(х)Р
1
(х)йх
 ■
А=0 
а
 

к—0 1 =0 
а

 
Ъ 
п 
п
= |
р(х)/2(х)йх
 — 2 
2
а &+ 
2
а *’
к
=0
яъни
82
'I
=* I
р(х)Р(х)йх
 — 2 а .
к
=0
билан характерланади.
ь
267
www.ziyouz.com kutubxonasi


4- §. ОРТОГОИАЛ 
КЎПҲАДЛАРНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ
Ортогонал- кўп ҳадлар 
учун 
р екуррен т 
м у н осабат л ар .
Ортогонал кўпҳадларни тез аниқлашга имкон берадиган рекур-
рент муносабатни келтириб чиқарамиз.
1 -т ео р ем а . Ортонормал кўпҳадлар системасининг ихтиёрий
учта кетма-кет элементлари учун қуйидаги рекуррент муносабат
/>„+!(*) =

 — 
%)Рп(х) — ~ ~ Рп_ г
(д:) 
(4 .1 )
ўринлидир, бу ерда р.я 
Рп(х)
нинг бош коэффициенти бўлиб, а п
қандайдир ўзгармас сон.
И сбот. 
х Р п(х)
кўпҳаднинг даражаси 
п
 + 1 га тенг бўлгани
учун уни Я0(л:), 
Рг(х),
. . . , 
Рп+\(х)
чизиқли комбинацияси орқа-
ли ягона кўринишда ифодалаш мумкин:
х Р п(х)
=
аор о(х)
 +
^ Р г(х)
 + . . . +
*пРп(х)
+ ~ ^ Р „ +
1
(х). (4.2)
Б у тенгликнинг ҳар иккала томонини р(х)Р^(х) (у =» 0, 
1, . . . ,
п
 — 2) га кўпайтириб, 
[а, Ь\
оралиқ бўйича интеграллаймиз:
Ь 
п 
Ь
| р
(х)Рп(х)[хР}(х)]с1х
=
I
р
(
х
)Р/(
х

1
(х)с1х
 +
а 
1=0 
а
Ь
+
р(х)Р£х)Рп+
1
(х)ах.
а
Чап томондаги интеграл нолга тенг, чунки барча у <
п
 — 2 лар
учун 
х Р }(х)
даражаси 
п
— 1 дан ортмайдиган кўпҳаддир, шунинг
учун ҳам уни 
Р0(х), Р х(х),
. . . , 
Рп-\(х)
ларнинг чизиқли ком-

Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   120   121   122   123   124   125   126   127   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish