Ózbekstan respublikasi yuqori va o’rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq

5-teorema (G ayek-Reni tengsizligi). Agar tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bogliqsiz, M = a, D va , . . . - manfiy bolmagan sonlarning o‘smaydigan ketma-ketligi bolsa, u holda ixtiyoriy > 0 va barcha
m ,n N,m< nsonlar uchun
P( )
tengsizlik o'rinli.
Isboti. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
)+
η tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini hisoblab, uni
qulay shaklga keltiramiz
)M
Qandaydir > 0 uchun quyidagi hodisalarni qaraymiz:

hodisalar birgalikda bolmagan hodisalar bolgani sababli
P
Agar M ekanligini ko‘rsatsak, teorema isbotlanadi. Ko‘rish mumkinki,
M


1-natija (Kolmogorov tengsizligi). Agar bog‘liqsiz tasodifiymiqdorlar ketma-ketligi chekli matematik kutilma hamda chekli dispersiyaga ega bo'lsa, u holda
P(
Isboti. Gayek-Reni tengsizligida deb olsak, 2-natijaning isboti kelib chiqadi.
Kolmogorov tengsizligini
P(
ko‘rinishda qayta ifodalash mumkin.
6-teorema. Agar bogliqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lib, =0, va bo‘lsa, u holda
munosabat o‘rinli, ya’ni bu ketma-ketlik uchun kuchaytirilgan kata sonlar qonuni o‘rinli.
Isboti. bo‘lsin. U holda
bolishi uchun, ixtiyoriy >0 uchun
P( ) (7)
shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Quyidagi
hodisani kiritamiz. U holda (7) yaqinlashish
P(
munosabatga ekvivalent. Kolmogorov tengsizligiga ko'ra
P( P(
Songra

Chunki
Bundan qatoming yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak,
P((
va bu esa (6) munosabatga ekvivalentdir. Teorema isbot boldi.