|
Misol. Monte-Karlo metodi. Bizdan, qandaydir uzluksiz g(x) funksiya uchun
integralni hisoblash talab qilinayotgan bolsin. [0;1] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin.
U holda
Mg( =
va kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan, 1 ehtimol bilan
Mg(
deb ta’kidlashimiz mumkin.
Shunday qilib, integralni taqribiy hisoblash algorilо
mini keltirib chiqarish uchun katta sonlar qonuni nazariy asos vazifasini bajaradi
Chebishev tengsizligi
Teorema (Chebishev ). A gar X tasodifiy miqdor D X dispersiyaga ega bolsa, u holda > 0 uchun quyidagi tengsizlik o'rinli:
(1)
tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. ehtimollik X tasodifiy miqdorning [ ; ] oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda . U holda
chunki integrallash sohasini ko'rinishda yozish mumkin. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,
Chebishev tengsizligini quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin:
(2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o'rinli. Xususan, X tasodifiy miqdorlar binomial qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsin,
. U holda
hám (1) den
(3)
n ta bog 'liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi
bo'lgan hodisaning chastotasi uchun,
(4)
X tasodifiy miqdorni [ ; ) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi.
Teorema(Markov). Manfiy bolmagan, matematik kutilmasi MX
chekli bolgan X tasodifiy miqdor uchun da
(5)
tengsizlik orinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar orinlidir:
(5) tengsizlikdan (1) di ason keltirip chiqarish mumkin.
(6)
Markaziy limit teorema
Markaziy limit teorema tasodifiy miqdorlar yigindisi taqsimoti va uning limiti normal taqsimot orasidagi boglanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.
Teorema. bogliqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bolsin, u holda,
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi.
(1)
Demak, (1) ga kora yetarlicha katta n larda
yigindi esa quyidagi normal qonun boyicha taqsimlangan boladi:
Bu holda tasodifiy miqdor asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor uchun bolsa X tasodifiy miqdor markazlashtirilgan va normallashtirilgan (yoki standart) tasodifiy miqdor deyiladi. (1) formula yordamida yetarlicha katta n larda tasodifiy miqdorlar yigindisi bilan bogliq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin.
tasodifiy miqdorni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda
yamasa
Misol. bogliqsiz tasodifiy miqdorlar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bolsa, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping va
ehtimollikni hisoblang.
Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y tasodifiy miqdorning
zichlik funksiyasi
boladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan
boladi. U holda
soniń ushin
formulaga kore,
Matematik kutilmasi a va dispersiyasi bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir хil taqsimlangan { } tasodifiy miqdorlar ketma - ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikka zarar keltirmasdan a = 0 , deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:
Xulosa
Umuman, хulosa qilib aytish mumkinki, P.L.Chebishev, A.A.Markov, Kolmogorov, Xinchin yuqorida qisqacha izoхlangan ishlari (“Peterburg maktabi”) ehtimollik nazariyasining keyingi davrlardagi rivojlanishiga mustahkam poydevor bo‘lib хizmat qildi. XIX asrning ikkinchi yarmida g‘arbiy Evropada ham ehtimolliklar nazariyasiga qiziqish keskin yuksaldi. Bu qiziqishning asosiy sabablari, bu nazariyaning sof matematika tushunchalariorqali, statistik fizika va endigina ro‘yobga chiqayotgan matematik statistika masalalari bilan uzviy ravishda bog‘liqligi bor ekanligida bo‘ldi. Shu davrda ko‘pchilik matematiklarga ehtimolliklar nazariyasi mustaqil fan sifatida rivojlanish uchun uni “klassik
asoslardan” (ya’ni elementar hodisalar sonichekli va ularning teng imkoniyatligi). qutilishi kerakligi tushunarli bo‘ldi.
Ma’lumki, “momentlar metodi” ni qo‘llanilishi qo‘shiluvchi bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar uchun hamma tartibdagi momentlar mavjud bo‘lishligini taqozo qiladi. P.L.Chebishevning topshiriqlaridan biri A.M. Lyapunov o‘zi asos solgan analitik metod – хarakteristik funksiyalar metodini qo‘llab, markaziy limit teorema o‘rinli bo‘lishi uchun qo‘shiluvchi bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlarning atigi 2+δ δ >0 tartibdagi momentlari mavjudligi yetarli ekanligini isbotladi. Aynan shu davrda sof matematikaning o‘zida ham “ehtimollik” tushunchasi bilan bog‘liq bo‘lgan ulkan o‘zgarishlar ro‘y berdi. Masalan, ehtimolliklar nazariyasidan juda yirik bo‘lgan sonlar nazariyasida ehtimolliklar taqsimotlari bilan bog‘liq metodlarni qo‘llash orqali qiyin masalalar hal qilindi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.Б. А.Севастянов Курс теории вероятностей и математической статистики.
2.Farmanov Sh. Q Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
3.A.A.Abdushukurov Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
4.Ivchenko G.I. Medvedov Yu.I.Vvedenie v matematicheskuyu statistiku. M.L.KI.2010
Internet sayitlar:
1.www.ziyouz.com kutubxonasi
2.www.ziyonet.uz
3.www.edu.uz
Do'stlaringiz bilan baham: |
