‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Tenzomi simmetrik va antisimmetrik qismlarga ajrating.
2. 
^   ^2j   tenzoming  a)  xos  sonlarini  toping,  b)  xos
vektorlarini  toping,  c)  topilgan  xos  vektorlarining  ortogonalligini 
tekshiring,  d)  bosh  o'qlarga  mos  kelgan  ortlami  aniqlang,  e)  bosh 
o‘qlarga  mos  kelgan  tenzoming  burish  matritsasini  keltiring,  f)  bosh 
o‘qlardagi tenzomi toping, g) xarakteristik sirtni quring.
'3   -5 
3 
I
3.  F =
tenzoming  a)  xos  sonlarini  toping,  b)  xos
6 ^
-3 
3  -2 y
vektorlarini  toping,  c)  topilgan  xos  vektorlarining  ortogonalligini 
tekshiring,  d)  bosh  o‘qlarga  mos  kelgan  ortlami  aniqlang,  e)  bosh 
o‘qlarga  mos  kelgan  tenzoming  burish  matritsasini  keltiring,  f)  bosh 
o‘qlardagi tenzomi toping.
10.  Levi-Chivita simvoli. Inversiya
•Levi-Chivita simvolL
• Vektor koordiitatalarining  inversiyada almashishL
• Tenzor miqdorlarning inversida almashishL
10.1.  Levi-Chivita simvoli
Quyidagi  qonuniyat  bo‘yicha  o‘zgaradigan  miqdorga  Levi-Chivita 
simvoli deyiladi:
1,  agar {i,j,k} o‘rin  almashtirishlarsoni juft  bo‘lsa,
-1,  agar {i,j,k}  o‘rin  almashtirishlarsoni toq  bo‘lsa, 
(10.1) 
0,  indekslar ichida bir-biriga tenglari uchrasa.
Masalan,  {1,3,2}  ifodani  {1,2,3}  ko‘rinishga  keltirish  uchun  3  va 2 
ni  o'rinlarini  bir  marta  almashtirish  kifoya,  ya’ni  toq  shuning  uchun 
f 132= - l 
bo‘ladi. 
f 231 
ning  qiymati  esa 
1 
ga  teng,  chunki
111
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

{2,3,1} =>{1,3,2} =>{l,2,3},  almashtirishlar  soni  2  ga  teng.  Uch  o‘lchovli 
fazoda Levi-Chivita simvolining 27 ta elementi  bo‘lib, shulardan uchtasi 
1  ga teng:
£m = e2ii = en2 =1
boshqa uchtasi
f 2 1 3   =
f l 3 2   =  
e $2
1  =  
1
-1  ga teng, qolgan barchasi  nolga teng bo‘ladi.
Indekslami  siklik  almashtirilganda  Levi-Chivita  simvolining 
qiymati o‘zgarmaydi:
6 tjk  ~ £ Jh  ~  £ h j •
Levi-Chivita  simvoli  yordamida  ko‘p  amallami  qisqacha  yozish 
imkoniyati  paydo  bo'ladi.  Masalan,  o‘ng  Dekart  koordinatalar 
sistemasida bazis vektorlari uchun
[et ,e,] = £kiJ m
 
(10.2)
tenglikning to‘g‘riligini tekshirish qiyin emas. Xususan,
[e3’^2 ] = eyimem = ^321^1 = ~£l •
(10.2) ikki tomonini ort e,  ga skalyar ko‘paytirsak
([®t->^/]>^i) = £Um (em- ) = ettm^m = £Ui
Bundan  Levi-Chivita  simvolini  uch  oMchovli  fazoda  aralash 
ko‘paytma ko‘rinishda berilishi  mumkinligi kelib chiqadi:
^ = ([e „ e ,],e t ). 
(10.3)
Levi-Chivita simvoli  Kroneker belgisi orqali ham bo'gMangan
8 „
$ 2
<5,3
e l]t  — 8 j i
* , 2
(10.4)
* t i
S f i
S t i
Misol.  Quyidagi tenglik isbot qilinsin.
8 *
8 im
8 *
£
ij
t £ lmn  ~ 8 ,
8 *
8 >
Stm
8 „
(10.5)
>   0 ‘ng tomondagi  determinantning matritsasini A  bilan belgilaylik. 
Ya'ni  e ^ e ^ - d e tA .  etJk = det B  va  elm„ =detC  belgilashlar  kiritaylik. 
Matritsani  matritsaga ko‘paytirish qoidasidan
( 8 „
^ 2
( 8 n
8 mi
8 ml)
( 8 ,
8,m
B - C T  =
8 ,
8 „
8,2
8 m 2
8„ 2
=
8 ,
8jm
8 j .
k.
8 n
8 k i , \ 8 n
8 m
 3
8 j
[ 8 u
8,tm
8 J
112
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ekanligi  kelib  chiqadi.  Xaqiqatan  ham,  masalan,  (fl-Cr )|(  element 
uchun