’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.1.2-teorema. (Koshi – Pikar – Lindelef teoremasi).

Agar f(x,y) funksiya Г sohada x va y bo’yicha aniqlangan va uzluksiz bo’lib, Г sohada y bo’yicha Lipshist shartini qanoatlantirsa, u holda shunday o’zgarmas h>0 son topiladiki, natijada (1.1. )tenglamaning Г bo’lgan (1.1.3) boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan va yopiq intervalda aniqlangan yagona yechim mavjud bo’ladi.

1.1.3-teorema. (Peano teoremasi)

Agar f(x,y) funksiya Г sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda Г sohaning berilgan Г nuqtasidan (1.1. )tenglamaning kamida bitta integral chizig’i o’tadi.Yuqoridagi teoremalarning qo’llanilishiga doir misol ko’raylik.

Misol.

Koshi masalasida

ga ko’ra ekani kelib chiqadi.

va umumiy yechim Koshi masalasi yechimi bo’lib, bu yechim Q₂ ga yagonadir.

(-2;0) nuqtada uzluksiz emas. Shuning uchun (-2;0) nuqtadan cheksiz ko’p integral chiziqlar o’tadi, (-2;0) nuqtadan y=0 integral chiziqlar o’tadi. Shuning uchun

Funksiya berilgan tenglamaning R² ga aniqlangan yechimi bo’ladi.

Agar ga funksiya aniqlangan uchun bo’lsa, u holda bunda . Agar bo’lsa, ning davomi deyiladi.