УЗИЛИШГА ЭГА КОЭФФИЦИЕНТЛИ
ИНТЕГРО
–
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН
ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛА ВА УНИНГ ЕЧИМИ
А.А. Зафаров
–
катта ўқитувчи, З.А.Запаров
-
ўқитувчи.
Андижон давлат университети, Андижон қишлоқ хўжалиги ва
агротехнологиялар институти.
Аннотация
Маърузада коэффициенти узилишга эга бўлган шунингдек каср
тартибли интеграл ва дифференциал операторларни ўз ичига олган
дифференциал тенглама учун чегаравий масала тадқиқ қилинади.
Таянч сўз ва иборалар: дифференциал тенглама, каср тартибли
дифференциал оператор, улаш шартлари.
Масала:
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1
1
2
1
2
1
,
0
1,0
0
0,1
x
x
y x
m D
y x
x
y x
m D y x
x
α
α
−
−
+
′′
=
∈ −
′′
=
∈
( )
( )
1.1
1.2
тенгламанинг
1
1,1
C
−
∩
(
) ( )
(
)
2
1,0
0,1
C
−
∪
синфга тегишли ва
қуйидаги
( )
( )
1
1
1
,
y
py
k
′ − +
− =
( )
( )
2
1
1
qy
y
k
′ +
=
(2)
шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин,
бу ерда
j
α
,
j
m
,
j
k
,
p
ва
q
берилган сонлар бўлиб,
1
0
α
<
,
2
0
1
α
<
<
,
1
0
m
>
,
2
0
m
>
,
0
p
>
,
0
q
<
; -
1
x
D
α
−
–
каср тартибли интеграл оператор:
( )
(
) (
)
( )
1
1
1
1
1
1
1
x
x
D
y x
x t
y t dt
α
α
α
−
− −
−
=
−
∫
Γ −
,
(3)
2
1
x
D
α
–
каср тартибли дифференциал оператор:
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
1
1
1
x
x
d
D y x
t
x
y t dt
dx
α
α
α
−
= −
−
∫
Γ −
,
(4)
бу ерда
( )
z
Γ
–
Эйлернинг гамма
-
функцияси.
Масалани тадқиқ қилишга ўтамиз. (3) тенгликни эътиборга
олиб,
(1.1) тенгламани
x
ни
t
га алмаштириб, ҳосил бўлган тенгламани
t
бўйича
1,
x
−
оралиқда интеграллаймиз:
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
1
1
1
1
1
x
m
y x
x t
y t dt
y
α
α
−
−
−
′
′
−
=
−
∫
Γ −
.
Бу тенгламани ҳам яна
1,
x
−
оралиқ бўйича интеграллаб ва ҳосил
бўлган такрорий интегралда интеграллаш тартибини алмаштириб,
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
2
x
m
y x
x t
y t dt
y
x
y
α
α
−
−
−
−
′
−
=
+ + −
∫
Γ −
(5)
18
интеграл тенгламага эга бўламиз.
Агар бу ерда
1
2
β
α
= −
белгилаш
киритсак, (5) тенглама қуйидаги кўринишни олади:
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
( )
1
1
1
1
1
1
x
m
y x
x t
y t dt
y
x
y
β
β
−
−
−
−
′
−
=
+ + −
∫
Γ
.
Бу тенгламада
1
t
z
= −
ва
1
x
s
= −
алмаштириш
бажарсак, қуйидаги
интеграл тенгламага эга бўламиз:
(
)
( ) (
)
(
)
( )
( )
1
1
0
1
1
1
1
s
m
s
s
z
z
y
y
dz
y
s y
β
β
−
− −
−
−
−
′
=
+ −
∫
Γ
.
0
β
>
бўлганлиги учун бу тенглама ягона ечимга эга [2] ва у
(
)
(
)
( )
( )
(
)
1
0
1
1
1
s
d
y s
m s z
y
z
y
dz
ds
β
β
−
′
− =
Ε
−
+ −
∫
кўринишда аниқланади, бу ерда
( )
z
β
Ε
–
Миттаг
-
Леффлер функцияси
[2]:
( )
(
)
0
/
1
n
n
z
z
n
α
α
∞
=
Ε
=
Γ
+
∑
.
Эски ўзгарувчиларга қайтиб, (1.1) тенгламанинг ечимини қуйидагича
ёзиб олиш мумкин:
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
1
1
1
x
y x
y
m x
y
m x t
dt
β
β
β
β
−
+
−
′
= − Ε
+
Ε
−
∫
,
[
]
1, 0
x
−
∈
.
(6)
(4) тенгликни эътиборга олиб, (1.2) тенгламани
,1
x
оралиқ бўйича
икки марта интеграллаймиз ва ҳосил бўлган
такрорий интегралда
интеграллаш тартибини алмаштириб,
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )(
)
2
2
2
1
1
1
1 1
2
x
m
y x
t
x
y t dt
y
y
x
α
α
−
−
−
′
−
=
−
∫
Γ −
(7)
интеграл тенгламага эга бўламиз. Агар бу ерда
2
2
γ
α
= −
белгилаш
киритсак, (7) тенглама қуйидаги кўринишни олади:
( )
( ) (
)
( )
( )
( )(
)
2
1
1
1
1 1
x
m
y x
t
x
y t dt
y
y
x
γ
γ
−
−
−
′
−
=
−
∫
Γ
.
Бу тенгламада
1
t
z
= −
ва
1
x
s
= −
алмаштириш бажарсак, қуйидаги
интеграл тенгламага эга бўламиз:
(
)
( ) (
)
(
)
( )
( )
1
2
0
1
1
1
1
s
m
s
s
z
y
y
z dz y
y
s
γ
γ
−
− −
−
−
′
−
=
∫
Γ
.
0
γ
>
бўлганлиги учун бу тенглама ягона ечимга эга [2] ва у
(
)
(
)
( )
( )
(
)
2
0
1
1
1
s
d
y s
m s z
y
y
z dz
ds
γ
γ
−
′
− =
Ε
−
∫
19
кўринишда аниқланади бу ерда
( )
z
β
Ε
–
Миттаг
-
Леффлер функцияси
[2].
Эски ўзгарувчиларга қайтиб, (1.1) тенгламанинг ечимини қуйидагича
ёзиб олиш мумкин:
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
2
1
1
1
1
x
y x
y
m
x
y
m t
x
dt
γ
γ
γ
γ
−
′
=
Ε
−
Ε
−
∫
,
[
]
1, 0
x
−
∈
.
(8)
(1.1) ва (1.2) тенгламаларнинг (6) ва (8) ечимларини (2)
чегаравий
шартларга ва
(
)
(
)
0 0
0 0
y
y
− =
+
,
(
)
(
)
0 0
0 0
y
y
′
′
− =
+
“улаш шартлари” га
бўйсундирсак, қуйидаги тенгламалар системаси келиб чиқади:
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
0
0
,
,
,
.
1
1
/
1
1
1
/
1
1
1
1
1
1
1
1
1
py
y
m
k
y
qy
m
k
y
m t
dt
y
m t
dt
y
m
y
m
y
m
y
m
y
m
m
y
m
m
β
γ
γ
γ
β
β
γ
γ
β
β
β
β
γ
γ
−
−
− + −
Γ
+ =
−
Γ + =
′
′
−
Ε
+
Ε
=
Ε
− Ε
′
′
′
′
− Ε
Ε
= − −
Ε
−
Ε
∫
∫
(9)
1
0
m
>
,
0
p
>
ва
2
0
m
>
,
0
q
<
эканлигини
эътиборга олиб, (9)
системанинг биринчи ва иккинчи тенгламаларидан,
( )
1
y
−
ва
( )
1
y
ларни
бир
қийматли
топамиз:
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1 /
1
y
k
m
p
β
β
− = Γ
+
+ Γ
+
ва
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1 /
1
y
k
qm
γ
γ
= Γ +
Γ + −
.
Буларни (9) нинг учинчи ва тўртинчи
тенгламаларига қўямиз ва ҳосил бўлган тенгламалар системасининг асосий
детерминантини ҳисоблаймиз:
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
0
0
0
0
.
m t
dt
m t
dt
m
m t
dt
m
m t
dt
m
m
β
β
γ
γ
β
γ
γ
γ
β
β
γ
β
−
Ε
Ε
∆ =
= −Ε
Ε
−Ε
Ε
Ε
Ε
∫
∫
∫
∫
0
∆ ≠
эканлигини исботлайлик.
1
m
ва
2
m
мусбат бўлгани учун
( )
1
0
m
Ε
>
,
( )
2
0
m
Ε
>
. Буни эътиборга олиб
∆
ни қуйидагича ёзиш мумкин:
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
1
1
2
2
1
1
0
0
/
/
m
m
m t
dt
m
m t
dt
m
β
γ
γ
γ
γ
β
β
β
+
∆ = −Ε
Ε
Ε
Ε
Ε
Ε
∫
∫
. (10)
( )
x
α
Ε
–
мусбат ва ўсувчи функция, шунинг учун
(
)
( )
1
1
1
0
0
/
1
m t
dt
m
β
β
β
< Ε
Ε
<
∫
,
(
)
( )
2
2
1
0
0
/
1
m t
dt
m
γ
γ
γ
< Ε
Ε
<
∫
.
20
У ҳолда (10) ифодадаги ҳар бир кўпайтувчи
мусбат ва нолдан
фарқлилигидан,
0
∆ ≠
эканлиги келиб чиқади. Демак,
( )
1
y
′ −
ва
( )
1
y
′
номаълум сонлар (9) системадан бир қийматли аниқланади:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
2
1
2
1
1
2
1
1
0
0
1
1
1
m
y
m
y
m
y
m
m t
dt
m
m t
dt
β
γ
γ
β
γ
γ
γ
β
β
−
=
−
Ε
Ε
− Ε
′ −
Ε
Ε
+ Ε
Ε
∫
∫
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
0
1
1
0
0
,
1
1
m t
dt y
m
m
y
m
m
m
m t
dt
m
m t
dt
β
γ
γ
γ
β
γ
γ
γ
β
β
β
γ
+
−
′
′
Ε
−
Ε
Ε
Ε
Ε
+ Ε
Ε
∫
∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
2
1
2
1
1
2
1
1
0
0
1
1
1
m
y
m
y
m
y
m
m t
dt
m
m t
dt
β
γ
β
β
γ
γ
γ
β
β
−
=
+
Ε
Ε
− Ε
′
Ε
Ε
+ Ε
Ε
∫
∫
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
0
1
1
0
0
1
1
m t
dt y
m
m
y
m
m
m
m t
dt
m
m t
dt
β
β
γ
β
β
γ
γ
γ
β
β
β
γ
+
+
′
′
Ε
−
Ε
Ε
Ε
Ε
+ Ε
Ε
∫
∫
∫
.
Топилган
( )
1
y
−
,
( )
1
y
,
( )
1
y
′ −
ва
( )
1
y
′
ларни (6) ва (8) формулаларга
қўйсак, масаланинг ягона ечимини топган бўламиз.
Do'stlaringiz bilan baham: 
