Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги заҳириддин муҳаммад бобур номидаги

Tillayev Donyorbek Rustambek o‘g‘li, 
 Toshpo‘latov Muzaffar Tursunali o‘g‘li,
 Abdullayev Abdug‘ani Xolmamat o‘g‘li,
Zokirjonov Sarvar Mamashukur o‘g‘li, 
ADU, Matematika kafedrasi o‘qituvchilari. 
 
Annotatsiya. Izotrop fazoda chiziqning ixtiyoriy nuqtasida cheksiz ko‘p 
normallar bor. Bu normallardan ikkitasi katta ahamiyatga ega. Bu tushunchalar 
Yevklid geometriyasida ma’lum. Ushbu tezisda bu normallarni Izotrop fazodagi 
farqi o‘rganilgan.
Kalit so‘zlar: izotrop fazo, egri chiziq, urinma, normal, tabiiy uchyoqlik. 
 
Izotrop fazoda chiziqning har bir nuqtasi muayyan koordinataga ega 
shaklda yozish mumkin.
Agar chiziqdagi o‘zgaruvchan nuqtaning 
tekislikkacha bo‘lgan 
masofani, ya’ni ni parametr deb olsak, u holda chiziqning tenglamalari 
shaklga ega bo‘ladi. 
Chiziqning urinmasi tushunchasini kiritamiz. Elementar egri chiziqning
nuqtasidan o‘tuvchi urinma tushunchasini kiritib, uning tenglamasini keltirib 
chiqaraylik. bilan 
ga yaqin bo‘lgan chiziqni birorta nuqtasini belgilaylik. 
Egri chiziqdagi va nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqni bilan belgilaylik. 
Egri chiziq ning nuqtasi ga intilganda chiziqni holati o‘zgarib borib, 
nuqta ga yetib kelganda, ning uzluksiz harakatidagi joylashgan holatiga
chiziqning M nuqtasidagi urinma to‘g‘ri chizig‘i deyiladi. 
61 

---

Biror chiziq tenglamasi 
va undagi biror 
nuqta berilgan bo‘lsin. Chiziqning 
nuqtasiga o‘tkazilgan 
urinma vektor 
bo‘ladi. Chiziqning 
nuqtasidan o‘tgan urinmaning tenglamasi 
bo‘ladi. 
Urinmaning birlik vektori
ga tengdir. Bu vektorni bilan belgilaymiz. 
yoki 
bu yerda 
bo‘lib, bundan 
bo‘ladi. 
Chiziqning 
nuqtasidan o‘tib shu nuqtadagi urinmaga ortogonal bo‘lgan 
tekislik chiziqning 
nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi. 
Teorema. Chiziqning 
nuqtasidan o‘tgan urinmaning tenglamasi 
bo‘ladi. 
Chiziqning normallari normal tekislikni tashkil etadi. Oxirgi tenglama 
chiziqning 
nuqtadagi normal tekislik tenglamasini ifodalaydi. Demak, 
normal tekislik 
o‘qiga parallel maxsus tekislikdan iborat. 
Teorema. Chiziqning berilgan nuqtadagi binormal vektori 
bo‘lib, 
binormal tenglamasi 
Chiziqning 
nuqtadagi yopishma tekislik tenglamasi quyidagidir: 
Yoy uzunligi tushunchasini kiritamiz. 
tenglama bilan berilgan chiziqning biror chekli 
yoyini olib,
parametr 
dan 
gacha o‘zgaradi deylik(
). Bu yerda 
qiymatga nuqta, 
qiymatga esa nuqta mos keladi
chiziqning 
yoyning uzunligi uchun quyidagi formula bilan aniqlanadi: 
62 

---

yoki dekart sistemasida
ko‘rinishga ega. Demak, Izotrop fazoda 
yoy uzunligi uning 
tekisligidagi proyeksiyasi yoyining uzunligi tushuniladi. 
Yoy uzunligini parameter sifatida olish. 
chiziq berilgan bo‘lsin. 
qiymatdan qiymatga mos kelgan yoy uzunligi ushbuga teng: 
yoyini parameter sifayida olish mumkin. 
Bu vaqtda chiziq tanglamasi 
shaklda yoki qisqacha 
shaklda yoziladi. Koordinatalar tenglamasi quyidagichadir: 
chiziqning biror 
ga mos nuqtasidagi 
urinmasining koordinata o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari 
va 
o‘qlari 
bilan tashkil qilgan burchaklari 
o‘qi maxsus to‘g`ri chiziq bo‘lganligi uchun ular orasidagi burchak 
aniqlanmagan. 
Bulardan
bolgani uchun 
kelib chiqadi. 
Izotrop fazoda chiziqning ixtiyoriy nuqtasida cheksiz ko‘p normallar bor. 
Bu normallardan quyidagicha ta’riflanadigan ikkitasi katta ahamiyatga ega.
Chiziqning berilgan nuqtasidagi yopishma tekisligiga ortogonal normal 
binormal deyiladi. Yopishma tekislikda yotuvchi normal bosh normal deyiladi. 
U yopishma tekislik bilan normal tekislikning kesishgan to‘g`ri chizig`idir. 
63 

---

Chiziqning har bir nuqtasidagi binormali urinmasi va bosh normali bilan 
o‘zaro ortogonaldir. Urinma va binormal orqali o‘tgan tekislik to‘g`rilovchi 
tekislik, bosh normal bilan binormal orqali o‘tgan tekislik normal tekislik, 
urinma va bosh normal orqali o‘tgan tekislik esa yopishma tekislikdir. 
Ko‘rsatilgan uchta tekislik–uchi chiziqning 
nuqtasidan o‘tgan 
uchyoqlikni hosil qiladi. Nuqta chiziq bo‘ylab harakat qilganda uchyoqlik ham 
harakat qiladi. 
Binormalning koordinata formadagi formulasi 
va vektor formadagi tenglamasi