chiqishi kerak bo‘lgan. Zukko malika bu ishni puxta hisob-kitob bilan amalga
oshirib, maksimal maydonni o‘rab olgan va shu yerda Birsa (teri) qal’asini
quradi. Shunday qilib, ushbu afsonada,
b
uzunlikka ega bo‘lgan egri chiziq
chegaralay oladigan eng katta yuza masalasi haqida so‘z yuritiladi. Bundan
tashqari, Yevklidning ekstremal masalasi ham ma’lum. Unga asosan, berilgan
uchburchakka eng katta yuzali parallelogrammni ichki chizish kerak.
XVI asrga kelib, algebraik mazmunga ega bo‘lgan
birinchi ekstremal
masalalar yuzaga keldi. Xususan, italiyan matematigi N. Tartalyanning nomi
bilan bog‘liq masala ayniqsa mashhur bo‘ldi: sakkiz sonini ikkita songa shunday
bo‘lish kerakki, ushbu sonlarni ularning farqiga ko‘paytmasi eng katta bo‘lsin.
Ushbu masalaning yechimi
kubik uchhadning
intervaldagi maksimal qiymatini aniqlash orqali topiladi. Bu davrda differensial
hisob hali shakllanib ulgurmaganini e’tiborga olsak, bu masala (0; 8) sonli
oraliqni ketma-ket teng bo‘lish usuli yordamida taqribiy yechilgan.
Hammaga ma’lum va mashhur matematiklar P.Ferma, I.Nyuton,
G.Leybnitslarning ilmiy ishlarining natijalaridan so‘ng, optimallashuvchi
funksiyalarni differensiallash metodi yordamida ekstremal masalalarni
yechishning umumiy yondashuvlari sekin-asta shakllana boshladi.
Hozirgi kunda bunday masalalarni hal qilishning bir qancha usullari mavjud
bo‘lib, biron bir ekstremal fizik masalani yechishda, iloji boricha ratsional
usuldan foydalanish qulay. Shu o‘rinda ekstremal fizik masalalarni yechishning:
1.
Funksiya hosilasidan
foydalanib yechish usuli;
2.
Parabola tenglamasidan, uning uchi koordinatalarini topish
ifodalarini ishlatish usuli;
3.
Kvadrat tenglamani diskriminanti orqali yechish usuli;
4.
Koshi tengsizligini qo‘llash usuli;
5.
Trigonometrik funksiyalarning xossalaridan foydalanish usuli;
6.
Geometrik usul kabilar mavjud.
Mazkur ishda biron potensial maydonda harakatlanayotgan moddiy nuqta
(zarra) harakati quyida keltirilgan ekstremal masalalar sifatida qarab chiqiladi.
1–masala. Ayrim potensial maydonda massasi m bo‘lgan
bir xil tebranma
harakatni vujudga keltiradigan zarrachalar tezligi
qonunga
asosan kordinataga bog‘liqligni ifodalaydi. Bu yerda va doimiylar bo‘lib,
bo‘lgan hol uchun zarrachalarning tebranish davrini toping [1, 58].
Berilgan:
;
; T=?
Yechilishi. Zarrachalar tezlanishini quyidagi ifoda orqali topamiz:
43
Shu sababli, zarrachalar
ko‘rinishdagi harakat qonuniga ega
ya’ni zarracha tebranishi garmonik bo‘lib siklik chastota kvadratiga proporsional
bundan esa
ekanligi kelib chiqadi.
2-masala. Sistema potensial energiyasining
x
koordinataga bog‘lanishi
3
4
5
2
−
+
−
=
x
x
)
x
(
W
qonuniyat orqali ifodalangan. Ushbu sistemaning
muvozanat holati koordinatasini toping va muvozanat turini aniqlang [1, 62].
Yechish. Ma’lumki, sistema muvozanatda bo‘lishi uchun
0
=
dx
dW
shart bajarilishi kerak. Shuning uchun potensial energiyaning x koordinataga
bog‘lanishi ifodasidan olingan birinchi tartibli hosilani nolga tenglab, hosil
bo‘lgan tenglamani yechish orqali, sistemaning
muvozanat nuqtasiga mos
keluvchi koordinatani topamiz:
0
4
10
3
4
5
2
=
+
−
=
−
+
−
=
x
)
x
x
(
dx
d
dx
dW
;
x=0.4 m.
Sistemaning muvozanat xarakterini aniqlash uchun esa, sistema potensial
energiyasining
x
koordinataga bog‘lanishi ifodasidan olingan ikkinchi tartibli
hosilaning ishorasini tekshiramiz:
0
4
10
2
2
<
+
−
=
)
x
(
dx
d
dx
W
d
.
Demak, sistemaning muvozanati noturg‘un ekan.
3-masala. Massasi 0.5 kg bo‘lgan jism potensial
energiyasi
2
4
6
2
−
+
=
x
x
)
x
(
W
qonunga muvofiq o‘zgaradi. Moddiy nuqtaning muvozanat
vaziyatidan o‘tishidagi tezlanishini toping [1, 68].
Yechish: Jism tomonidan bajarilgan ish –
dA
, uning energiyasi
o‘zgarishiga tengligi avvaldan ma’lum:
Fdx
dW
dA
=
=
. Undan
dx
dW
F
=
ni
olamiz. Nyutonning ikkinchi qonuniga binoan
dx
dW
m
m
F
a
⋅
=
=
1
ekanligini
e’tiborga olsak,
)
x
(
m
)
x
x
(
dx
d
m
a
4
12
1
2
4
6
1
2
+
=
−
+
⋅
==
bo‘ladi.
0
=
dx
dW
shartdan
foydalansak
0
)
4
12
(
)
2
4
6
(
2
=
+
=
−
+
x
x
x
dx
d
hosil bo‘ladi, bundan jismning
muvozanat vaziyati koordinatasini aniqlaymiz:
x
= -
1/3 m.
44
Aniqlangan x ning va masala shartida berilgan m ning qiymatlarini
tezlanishni aniqlash ifodasiga qo‘yib
0
)
4
)
3
1
(
12
(
5
.
0
1
=
+
−
⋅
==
a
natijani olamiz.
Demak, fizika darslarida aynan amaliy metoddan foydalanish ko‘proq
samara beradi, chunki, yuz beradigan jarayonni tavsiflovchi formulalar asosida
nazariy hisoblashlarni amalga oshirish orqali olingan bilimlar yanada
mustahkamlanadi. Masala yechishda ham masalani talabalarning
bilim
darajasini hisobga olgan holda, jumladan, iqtidorli talabalarga murakkabroq
hisoblangan ekstremal masalalar berilsa, talabaning fikrlashi va ilmiy
dunyoqarashining kengayishidan tashqari, murakkab matematik amallarni
bajarish ko‘nikmasini hosil bo‘lishiga ham yordam beradi [2, 56].
Do'stlaringiz bilan baham: 
