Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

3-мисол
.
1
3
arcsin

x
тенгламани ечинг. 
Ечиш
.
1
sin
3
1
,
1
sin
3


x
x
4-мисол
.



x
arctg
x
3
2
arcsin
тенгламани ечинг. 
Ечиш
.
2
2
arcsin
2





x
ва 
2
3
2





x
arctg
бўлгани учун 






x
arctg
x
3
2
arcsin
Демак, тенглама ечимга эга эмас. 
5-мисол
. 
x
x
arccos
arcsin

тенгламани ечинг. 
Ечиш
.Тенгламанинг ўнг ва чап томонларининг косинусини оламиз 
2
1
)
(arcsin
,
)
(arccos
x
x
сos
x
x
сos



Илдиз олдида мусбат ишора, чунки
2
2
arcsin
2





x
,бундай бурчак 
косинуси манфий эмас. Демак, берилган тенглама
2
1
x
x


кўринишга 
келади.Уни
ечиб
2
1


x
илдизларни топамиз. Лекин
2
1


x
илдиз иррационал 
тенглама учун чет илдиз, иккинчиси эса тенглама илдизи бўлади. Бунга ишонч 
ҳосил қилиш учун текширамиз 
4
2
1
arcsin


4
2
1


arcсrc
6-мисол
. 
3
3
3
)
cos
(
)
(arcsin



x
ar
x

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
286 
Ечиш.
Бу тенгламани ечиш учун икки сон кублари йиғиндиси 
формуласидан фойдалансак ва уларнинг йиғиндиси 
2

га тенглигини ҳисобга 
олиб, шакл алмаштиришлардан сўнг
2
12
7
arccos
sin




x
x
arс
тенгламага эга бўламиз ёки
)
2
(
arcsin



y
x
y
деб олиб, у ҳолда 
y
x


2

эканлигини эътиборга олсак
0
12
7
2
2
2





y
y
квадрат тенгламага эга 
бўламиз.Унинг илдизлари абсолют қиймати бўйича 
2

дан катта. Берилган 
тенглама ечимга эга эмас. 
Тескари тригонометрик функциялар қатнашган тенгсизликларни 
ечишда қуйидаги умумлашган жадваллардан фойдаланиш мақсадга мувофиқ, 
бу ерда параметрнинг мумкин бўлган барча қийматлари учун тенгсизликлар 
ечимлар тўпламлари келтирилган
0

a
0

a



a
0


a


a
a
x

arccos
]
1
,
1
[

)
cos
,
1
[
a



a
x

arccos


]
1
,
(cos
a
2



a
2



a
2
2





a
2


a
2


a
a
x

arcsin
]
1
,
1
[

]
1
,
(sin
a


]
1
,
1
[

]
1
,
1
[

]
1
,
1
[

]
1
,
1
[


---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
287 
a
x

arccos


)
sin
,
1
[
a

2



a
2
2





a
2


a
a
arctgx

)
,
(


)
,
(

tga

a
arctgx


)
,
(
tga

)
,
(


0

a



a
0


a
a
arcctgx

)
,
(


)
,
(
ctga



a
arcctgx


)
,
(

ctga
)
,
(


Мисоллар кўриб ўтамиз. 
1-мисол
.
5
arcsin

x
тенгсизликни ечинг. 
Ечиш
.
5
2



a
бўлганлиги учун ва жадвалдаги натижаларга асосан 
ечимлар тўплами 
2-мисол
. 
4
1
arccos
arccos

x
тенгсизликни ечинг. 
Ечиш
. 



4
1
arccos
0
эканлигини ҳисобга олиб ва 1-жадвалга асосан
]
1
),
4
1
s
[cos(arcco

x
эканлиги келиб чиқади. Бундан ечимлар тўплами, демак, 
]
1
,
4
1
[
3-мисол
.
0
3
4
2



arctgx
x
arctg
тенгсизликни ечинг. 
]
1
,
1
[

]
1
,
1
[

]
1
,
1
[


---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
288 
Ечиш.
y
arctgx

деб белгилаб олиб 
0
3
4
2



y
y
квадрат тенгсизликка 
эга бўламиз.Унинг ечимлар тўплами 
3
,
1


y
y
. Шунинг учун иккита оддий 
тенгсизликка 
1

arctgx
, 
3

arctgx
эга бўламиз.Уларнинг ечимлар тўплами 
жадвалларга асосан 
)
,
3
(

tg
)
,
(

tga
)
1
,
(
tg

тўпламлар бирлашмасидан иборат. 
4-мисол
. 
x
x
arccos
arcsin

тенгсизликни ечинг. 
Ечиш
.
0
arccos

x
бўлгани учун 
0
arcsin

x
бўлади, бундан 
0

x
Иккинчи 
томондан 
)
sin(arccos
)
sin(arcsin
x
x

ёки
2
1
x
x


. Бундан ечимлар тўплами 
]
1
,
2
2
(
эканлиги келиб чиқади. Худи шундай 
arcctgx
arctgx

тенгсизликни ечиш
ҳам 
1

x
ечимлар тўпламига олиб келишини кўрсатиш мумкин. Тестлардан 
намуналар келтирамиз. 
1. 
2
1
arccos
2
3
arctg










ни ҳисобланг. (98–2–22)
A) -75
0
B) 75
0
C) -105
0
D) 165
0
E) 105
0
2. 
1
1
3
2 arcsin
arccos
2
2
2








ни ҳисобланг. (98–8–68) 
A)
B)
C) 0 D)
E)
4
6
3
3






3. 
2
2
2(
)
3
arc cosx
arccosx




тенгламани 
ечинг 
(00–1–33) 
2
2
1
)
) 1
) 1
)
)
2
2
2
A
B
C
D
Е



4.Агар 4arccosx+arccosx = π бўлса, 3x
2
ни ҳисобланг (99–5–26)
A) 
0
B) 1 C) 3 D) 0,75 E) 1,5
5. 
arcsin(2 sin )
2
x


тенгламани энг кичик илдизини топинг (98–6–53) 
1
5
1
2
)
)
)
)
)
3
6
2
6
A
B
C
D
Е



6. 
2
arccos
arccos
x
x

тенгсизликни ечинг. (98–11–74) 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
289 
A) (0;1) B) (-1;0) C) [-1;1]
D) (-∞;0)U(1;∞) E) (1;∞) 
Хулоса қилиб айтганда, тескари тригонометрик функциялар қатнашган 
тенглама ва тенгсизликларни ечишда асосан: ўқувчилар функциялар 
хоссаларини пухта билишлари, тескари ва берилган функция орасидаги 
муносабатлар ҳамда тригонометрик функциялар тегишли хоссаларини билиш 
ва параметрнинг ўзгаришига мос равишда тенгсизликлар ечимлар тўплами 
ҳақида маълумотларга эга бўлиши талаб этилади. 
АДАБИЁТЛАР 
1.Алиханов С. Математика ўқитиш методикаси -Т.,2012 
4.Остонов Қ. Математика дарсларини ташкил этиш технологиялари 
Услубий қўлланма. - Самарқанд: СамДУ нашри, 2008. бет. 
6.Абдуҳамидов А.У. ва бошқалар. Алгебра ва математик анализ асослари. 
1-қисм. Академик лицейлар учун ўқув қўлланма. - Тошкент: Ўқитувчи, 2009 
7.МамировУ., Назаров Х.Э. Математик анализнинг танланган 
масалалари. Ўқув қўлланма.- Самарқанд: СамДУ, 2004 
8.Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10-класс.-
М.:Просвещение, 1991. 
ПЕДАГОГИКА ОЛИЙ ТАЪЛИМ МУАССАСАЛАРИДА АЛГЕБРА 
ВА СОНЛАР НАЗАРИЯСИ ФАНИНИ ЎҚИТИШДАГИ
МУАММОЛАРНИ КРЕДИТ ТИЗИМИ ВОСИТАСИ ЁРДАМИДА ҲАЛ 
ЭТИШ 
 
Хуммаматова К. 
Жиззах давлат педагогика институти ўқитувчиси
 
 
Ҳар бир фан бўйича мавжуд маълумотларни пухта эгаллаш, эгаллаган 
билим, кўникма ва малакаларни амалиётда қўллай олиш ўз мутахассислиги 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
290 
бўйича малакасини мунтазам ошириб бориш, ўз соҳаси бўйича дунё 
миқиёсидаги янгиликлардан доимо ҳабардор бўлиш ва улардан ўз фаолияти 
давомида фойдалана олиш, инновацион фаолият олиб бориш, бунда 
масофавий таълим технологияларидан самарали фойдаланиш бўлажак 
мутахассислар олдига қўйилган давр талабларидандир. Бугунги кунда 
талабаларни юқоридаги талабларга жавоб бера оладиган мутахассис қилиб 
етиштириш муҳим ахамиятга эга бўлиб, у таълим жараёнини мустақил билим 
олиш асосида, янгича кўринишларда ташкил қилишга ундайди. 
Мактаб, академик лицейлар ва олий таълим муассасалари таълими бир-
биридан тубдан фарқ қилади. Дарснинг олий таълим муассаларида маъруза, 
амалий, лаборатория, семинар ва бошқалар билан алмашиши, ўқув 
материалларининг хажми ортиши, мустақил фаолият шакли ва мақсади 
турличалиги биринчи курс талабаларида олий таълим муассаси муҳитига 
мослашишида қийинчиликлар келтириб чиқаради. Бундай муаммолар 
талабаларнинг, айниқса биринчи курс талабаларининг билим олиш, хусусан 
мустақил билим олишларини ташкил қилишга алоҳида эътибор қаратиш
заруратини вужудга келтиради. Яъни мустақил таълимга эътиборни кўпроқ 
қаратиш кераклигини англатади. Анъанавий таълим тизимимизда мустақил 
таълимга етарлича урғу берилмайди. Бундай қийинчиликлар алгебра ва сонлар 
назарияси фанини ўқитишда ҳам мавжуд. Ўқувчиларда мактабдаги режа 
асосида ўқитилган алгебра фани билан олий таълимдаги ўқув режа асосида 
ўқитиладиган алгебра фани бир–бири билан чамбарчас боғлиқ бўлишига 
қарамасдан ўқувчиларга фанни ўзлаштиришда қийинчиликлар юзага келади. 
Масалан, “Мулоҳазалар алгебраси” модулини ўқитишда талабалар дастлабки 
тушунчаларга эга, лекин тенг кучли формула, мулоҳазалар алгебрасининг 
формулалари, предикатлар алгебрасининг формулалари ва кванторлар 
тушунчалари улар учун янги тушунча. Айниқса “Алгебраик системалар” 
модулини ўзлаштириш талабаларда анчагина қийин кечади. Сабаби бу 
модулдаги барча тушунчалар талабалар учун аввал ўрганилмаган 
тушунчалардир. Бу каби мисоллар яна кўплаб келтириш мумкин.

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
291 
Бундан ташқари ўқув соати икки қисмга ажралади: аудитория ва 
мустақил таълим соатлари. Талаба аудиторияда бажариладиган мустақил 
таълимни бажаришда бевосита ўқитувчининг назоратида бўлади ва методик 
кўрсатма ва ёрдам олиш имкониятига эга бўлади. Аудиториядан ташқарида 
бажариладиган мустақил таълимни бажаришда эса талаба олган билим, 
кўникма ва малакаларига таянади. Бу эса мустақил таълимни тўғри ташкил 
қилиш вазифасини қўяди. Мустақил таълимга ажратилган соатлар деярли 
аудитория соатлари билан тенг. Афсуски, анъанавий таълимда мустақил 
таълимга чуқур ёндашилмаган.
Ҳозирда мамлакатимиздаги айрим олий ўқув юртларида тажриба 
сифатида қўлланилаётган ўқитишнинг кредит-модул тизими бу муаммога 
ечим бўла олади. Ўзбекистон Республикаси Президенти Ш.Мирзиёевнинг 
2019 йил 8 октябрда “Ўзбекистон Республикаси олий таълим тизимини 2030 
йилгача ривожлантириш концепсиясини тасдиқлаш тўғрисида”ги ПФ 5847-
сонли фармонида олий таълим муассаларида ўқув жараёнини босқичма-
босқич кредит-модул тизимига ўтказиш белгилаб қўйилди[1]. Ҳозирги кунда 
Республикамиздаги Муҳаммад ал-Хоразмий номидаги Тошкент ахборот 
технологиялари университети ва унинг филиаллари тажриба сифатида модул 
кредит тизимига босқичма-босқич равишда ўтказилмоқда. 
Модулли таълимнинг мақсади талабаларнинг соҳа бўйича билим, 
кўникма ва малакаларини шакллантиришдан иборат. Модулли таълимда 
педагог тингловчининг ўзлаштириш жараёнини ташкил этади, бошқаради, 
маслаҳат беради, текширади. Талаба эса йўналтирилган объекти томон 
мустақил ҳаракат қилади. Энг катта урғу ҳам талабаларнинг мустақил таълим 
олишига қаратилган. Кредит-модул тизимида мустақил таълимнинг ўзи ҳам 
иккига бўлинади: аудиторияда бажариладиган мустақил таълим ва 
аудиториядан ташқарида бажариладиган мустақил таълим. Аудиториядан 
ташқарида бажариладиган мустақил таълим учун тайёрланган топшириқлар 
талабаларни ижодий қобилиятларини ривожлантиришга йўналтирилганлиги, 
мавзуга оид табақалаштирилган, яъни юқори, ўрта ва паст ўзлаштирувчилар 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
292 
учун алоҳида-алоҳида топшириқлардан тузилганлиги, бундан ташқари талаба 
топшириқни бажариши учун наъмуналар келтирилиши талабанинг фанни 
чуқур ўзлаштириши ва ўз устида кўпроқ ишлаши учун катта ёрдам беради. 
Анъанавий таълим тизимида талабанинг бажарган мустақил ишини 
баҳолаш аниқ қилиб белгилаб қўйилмаган. Кредит-модул тизимида эса оралиқ 
назорат ва жорий назорат учун мустақил ишлар, ҳар бир бажариладиган 
мустақил иш учун фаннинг ишчи дастурида аниқ балл ажратилади. Оралиқ 
назорат учун бажариладиган топшириқлар мустақил ишлар, жорий назорат 
учун бажариладиган топшириқлар шахсий топшириқлар деб аталади. Ишчи 
дастурда мустақил ишни ва шахсий топшириқни баҳолаш меъзонлари 
келтирилади. Яъни талаба мустақил ишни белгиланган вақтда бажариши, 
ишнинг бажарилиши тўғри ташкил этилганлиги, мустақил иш мавзусининг 
режага мослиги, мавзуни ёритишда тўғри мантиқий кетма-кетлик, ҳулоса 
мавжудлиги ва албатта мустақил иш ҳимояси учун алоҳида-алоҳида балл 
берилади. Бу мустақил ишларни бажариб талаба керакли баллни йиғади. 
Жорий назорат учун эса шахсий топшириқлар берилади. Шахсий 
топшириқлар учун ҳам худди мустақил ишдаги каби шахсий топшириқларни 
баҳолаш меъзонлари келтирилади. 
Буларнинг ҳаммаси ҳар бир талабага индивидуал ёндашишни ва
объектив баҳолаш имкониятини яратади. Алгебра ва сонлар назарияси фанини 
ўқитишда юқорида келтирилган ўзлаштирилиши қийин бўлган мавзулар 
бўйича талабалар мустақил таълимини ташкил этишда кредит-модул 
тизимининг имкониятларидан фойдалансак ҳам талаба, ҳам ўқитувчи ўз 
устида кўпроқ ишлайди, бу эса бўлажак кадрларни ўз мутахассислиги бўйича 
юқори малакали кадрлар бўлиб етишишига имкон яратади.