Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

Foydalanilgan adabiyotlar 
1. Л.Я.Куликов, Алгебра и теория чисел, Москва 1979, 559 ст. 
2. D.S.Malik, John N. Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of abstract algebra, New 
York, 636 p.

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
305 
GORNER SXEMASINING KO’PHADNI KO’PHADGA BO’LISH 
UCHUN BA’ZI TADBIQLARI
 
 
Majidov Sh.A., Karimova D. 
Navoiy davlat pedagogika instituti 
Bizga ma’lumki Gorner sxemasidan foydalanib misollar yechishda biz yuqori 
darajali ko’phadni birinchi darajali ko’phadga yoki x
0
ning aniq qiymatlarida 
berilgan yuqori darajali ko’phadning qoldig’ini topish bilan yaxshi tanishmiz. Bu 
usul orqali berilgan yuqori darajali ko’phadni ikkihad darajalari bo’yicha 
yoyilmasini topa olamiz. Biz buning uchun quyidagi teorema va Gorner sxemasini 
esga olib o’tishimiz mumkin. 
Teorema. 
Agar 
soni 
 
x
P
ko’phadning ildizi bo’lsa, 
 
x
P
ko’phad 


x
ikkihadga qoldiqsiz bo’linadi.
 
Gorner sxemasi. 
 
0
1
2
2
1
1
...
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
f
n
n
n
n








ko’phadni 


x
ikkihadga bo’lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) 
– ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko’rsatamiz.
   

r
a
x
x
q
x
f



(1) 
bo’lsin.
Bunda 
 
.
...
1
3
2
2
1
1
0









n
n
n
n
b
x
b
x
b
x
b
x
q
(1) dagi
x
ning bir xil darajalari 
oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo’lamiz: 
1
2
1
1
1
2
2
0
1
1
0
0
..
..........
..........













n
n
n
n
n
b
r
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
a




bundan ko’rinadiki, 
.
,
1
,
...
,
3
,
2
,
1
,
,
1
1
0
0









n
k
n
k
b
r
n
k
a
b
b
a
b


Bo’linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.
0
a
1
a
2
a
… 
1

n
a
n
a


---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
306 
1
0
a
b


2
1
a
b


… 
1
2



n
n
a
b

n
n
a
b


1

0
0
a
b

1
b
2
b
1

n
b
r
Bu sxema Gorner sxemasi deyiladi.
Elementar algebradan ma’lum qoidaga muvofiq ko’phadni nolmas ko’phadga 
bo’lish ham mumkin. Bo’lish qoldiqsiz yoki qoldiqli bajarilishi mumkin. Bo’linma 
va qoldiq yana shu maydondagi ko’phadlarni ifodalaydi. 
Ta’rif.
Agar P maydonda berilgan 
 
x
f
va 
 
x
g
ko’phadlar uchun o’sha 
maydonda: 
     
x
h
x
g
x
f

tenglikni qanoatlantiruvchi 
 
x
h
ko’phadni topish
mumkin bo’lsa, 
 
x
f
ko’phad 
 
x
g
ko’phadga bo’linadi va 
 
x
g
ko’phad 
 
x
f
ko’phadning bo’luvchisi deyiladi. 
Teorema. (
Qoldiqli bo’lish algorifmi
.)
P maydondagi har qaysi ikkita 
 
x
f
va 
 
0

x

ko’phad uchun, o’sha maydonda 
       
x
r
x
q
x
x
f



(1) 
tenglikni qanoatlantiruvchi birdan-bir 
 
x
q
va 
 
x
r
ko’phadlar mavjud va bunda 
 
x
r
ning darajasi 
 
x

ning darajasidan kichik bo’ladi. 
Bizga 
 
x
Q
halqada 
 
3
2
2
3
4





x
x
x
x
x
f
ko’phadni 
 
1
2
2
3



x
x
x
g
ko’phadga bo’lgandagi
bo’linma va 
qoldiqni topish talab qilingan bo’lsin. 
Biz bu misolni yechishda qoldiqli bo’lish algoritmidan foydalanib
ni 
hosil 
qilamiz, 
bu 
yerdan 
ga 
asosan 
ga teng ekan.

)
(
x
q
)
(
x
r
6
7
3
6
3
3
3
3
2
1
2
2
4
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
3
4
2
3
4


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
x
r
x
q
x
g
x
f


.
6
7
)
(
;
3
2
)
(
2





x
x
x
r
x
x
q

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
307 
Endi ushbu misolni Gorner sxemasidan foydalanib yechishni ko’rib o’tamiz. 
Buning uchun quyidagicha jadval tuzib olamiz. Ya’ni 
)
(
x
f
ko’phadning 
koeffisiyentlarini satr ko’rinishida, 
)
(
x
g
ko’phadning koeffisiyentlarini esa ustun 
ko’rinishida yozib olamiz.
№ 
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
b
1
b
a
c
1
1
1

b
c
2
1

b
c
3
1

b
c
4
1

b
2
b
b
c
a
c
1
2
1
2
2



b
c
2
2

b
c
2
2

b
c
2
2

b
3
b
4
Natija 
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
Bu yerda 
a
1
, 
a
2
, 
a
3
, 
a
4
, 
a
5
lar
)
(
x
f
ko’phadning koeffisiyentlari, 
b
1
, 
b
2
, 
b
3
, 
b
4
lar
)
(
x
g
ko’phadning koeffisiyentlari, 
c
1
, 
c
2
, 
c
3
, 
c
4
, 
c
5
lar esa 
)
(
x
q
va 
)
(
x
r
ko’phadlarning quyidagicha amallar bajarish natijasida hosil bo’lgan 
koeffisiyentlaridir. Bu jadvalni quyidagicha amallar orqali bajaramiz.
1-qadamda 
1
a
ni 
1
b
bo’lib, 
1
c
topib olamiz, ya’ni,
b
a
c
1
1
1

ni ustunning har bir 
elemintiga ko’paytirib, satr ko’rinishida yozamiz. 
2-qadamda 
b
b
c
a
c
1
2
1
2
2



ni ustunning har bir elemintiga ko’paytirib, satr 
ko’rinishida yozamiz. 
3-qadamda 
c
3
ni hosil qilish uchun
a
3
ayiramiz
b
c
3
1

ayiramiz
b
c
2
2

ya’ni, 
b
c
b
c
a
c
2
2
3
1
3
3






---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
308 
4-qadamda 
c
4
ni hosil qilish uchun
a
4
ayiramiz
b
c
4
1

ayiramiz
b
c
3
2

ya’ni, 
b
c
b
c
a
c
3
2
4
1
4
4





5-qadam 
c
5
ni hosil qilish uchun esa oxiridagi ustunlarni ayiramiz. Natijada
b
c
a
c
4
2
5
5



bo’ladi.
Yuqoridagi misolni Gorner sxemasidan foydalanib ishlasak quyidagicha 
bo’ladi. 
№ 
2 
1 
1 
-1 
-3 
1 
2 
4 
0 
-2 
2 
-3 
-6 
0 
3 
0 
-1 
Natija:
2 
-3 
7 
1 
-6 
Natijada 
2
1

c
, 
3
2


c
, 
7
3

c
, 
1
4

c
, 
6
5


c
hosil bo’ladi. Demak, 
)
(
x
f
ko’phadni 
)
(
x
g
ko’phadga bo’lganimizda to’liqsiz bo’linmada 
3
2
)
(


x
x
q
teng 
bo’lib, 
6
7
)
(
2



x
x
x
r
qoldiq qolar ekan. 
Biror bir masalani yangicha usulda yechish talabalarning fanga bo’lgan 
qiziqishini yanada orttiradi. 
Darsning sifat va samaradorligini yanada oshirishda bunday masalalarning 
o’rni muhum bo’lib, amaliy mashg’ulot darslarida va mustaqil ishlarni bajarishda 
muhum ahamiyat kasb etadi.
 
 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
309 
“ТАЪЛИМДА ВА АХБОРОТ ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ” ЎҚУВ ФАНИНИ 
ЎҚИТИШДА ТАЛАБАЛАР МУСТАҚИЛ ИШЛАРИНИ ТАШКИЛ 
ҚИЛИШ 
Адинаев Ш.Ш. 
Низомий номидаги Тошкент давлат педагогика университети 
Ҳозирги кунда юз бераётган жаҳон тажрибасига эътибор қаратадиган 
бўлсак, талабалар мустақил ишларини ташкил қилишга ва ўтказишга 
қўйилаётган талаблар ошиб бораётганини кўриш мумкин. Талабалар мустақил 
ишларининг ролини ошиши эса бутун ўқув-тарбия жараёнини ташкил 
қилишни қайтадан кўриб чиқишни тақозо этмоқда. Ўқув-тарбия жараёнини 
шундай ташкил қилиш керакки, бу жараён талабаларда ўқиш, айниқса 
мустақил ўқиш кўникмаларини ривожлантириши, талабаларда ўз-ўзини 
бошқариш ва ривожлантириш қобилятларини, шунингдек эгаллаган 
билимларини амалиётда ижодий қўллай олиш кўникмаларини шакллантириш 
керак. 
Маълумки, талабалар мустақил ишлари кўп ҳолларда таълим сифатини 
белгилайди. Агар олдин таълим сифати эгалланган билим, кўникма ва 
малакалар билан аниқланган бўлса, бугунги кунда таълим сифати эгалланган 
компетенцияларга яъни, унинг шахсини, касбий компетенцияларини 
тарбиялашни талаб этмоқда. 
Натижада талабалар мустақил фаолиятини қандай ташкил қилиш керак 
деган табиий савол туғилади. Бу ерда эмг муҳими талабаларда машғулотлар 
давомида ва аудиторидан ташқари ишларда мустақил фаолият юрита олиш 
кўникмаларини шакллантириш муҳим. 
Мустақил ишларнинг сифат ва самарадорлигини таъминлаш аввало 
профессор-ўқитувчига ва пухта ишланган методик таъминотга, назорат 
механизмига боғлиқ. Агар ўқитувчи машғулотлар давомида талабаларда 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
310 
мустақил ишлашга қизиқиш, иштиёқ уйғота олса, яъни уларда мотив уйғота 
олса, энг асосий муаммолардан бири бажарилган бўлади. 
Демак, ўқитувчининг асосий вазифаларидан бири билимларни мустақил 
излашга қизиқиш уйғотишдан иборат. Натижада талаба ОТМларда ўқиши 
давомида мустақил таълим олиш кўникмаларини, одатларини эгаллаб боради. 
Талабаларнинг мустақил ишлай олиш кўникмаларини ривожлантириш, унинг 
касбий жиҳатдан ўсишларига ва ижодий фаолиятни одат қилиб олишларига 
имкон яратади. 
Биз ушбу мақоламизда “Таълимда ва ахборот технологиялари” ўқув 
фанини ўқитишда талабалар мустақил ишларини ташкил қилиш 
муаммоларига алоҳида эътибор қаратамиз. “Таълимда ва ахборот 
технологиялари” фанини шу фаннинг имкониятларидан ва компьютер 
технологияси 
имкониятларидан 
фойдаланиб 
мустақил 
фаолиятни 
шакллантириш ва ривожлантириш мумкин. 
Бугунги кунда мамлакатимизда ижтимоий-иқтисодий, маънавий-
маърифий ўзгаришларни амалга ошириш баробарида ижтимоий соҳанинг 
устувор йўналиши бўлган таълим-тарбия жараёнини такомиллаштириш 
юзасидан қатор вазифалар белгиланди, жумладан бўлажак педагогларда 
касбий-педагогик компетентликни яъни мустақил билим олишга, ўз-ўзини 
ривожлантиришга, мустақил фаолият юрита олиш кўникмаларини 
шакллантиришга эътибор қаратилмоқда. Мазкур вазифаларни бажаришда,
таълим жараёнида педагогик ва ахборот технологиялардан фойдаланиш 
орқали таълим самарадорлигини орттириш асосий ўринни эгаллайди.
Таълим жараёнида педагогик ва ахборот технологиялардан уйғун 
фойдаланиш орқали таълим мазмуни янгиланади, унга боғлиқ ҳолда проф-
ўқитувчининг педагогик ва талабаларнинг билиш фаолиятини ташкил этиш 
жараёни, машғулотларнинг бориши, умуман таълим-тарбия жараёнини 
инновацион
асосда ташкил этиш эҳтиёжи туғилади. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
311 
Инновацион технологиялар деганда таълим-тарбия жараёнидаги бир 
хилликка барҳам бериш, анъанавий парадигмадан воз кечиш ва унга янгилик 
киритиш орқали самарадорликка эришишга имкон берадиган педагогик ва 
ахборот технологиялар тушунилади. 
Ўқитувчининг инновацион фаолияти
 
таҳлил этилса, унинг назарий 
омиллари: 
4.
Ўқув фанларига таълим мазмунига киритилган янгиликни, фаннинг 
замонавий ютуқлари ва янгиликларини англаш, уларни ўқувчилар онгига 
сингдириш йўлларини белгилашни; 
5.
Ўқитиш жараёнига киритилган янгиликни англаш, яъни таълим-тарбия 
жараёнидаги дарсларда бир хилликка барҳам бериш мақсадида педагогик ва 
ахборот технологияларидан ўз педагогик фаолиятида қўллашга тайёргарлик 
кўришни; 
6.
Ўқув фани бўйича ташкил этиладиган аудиториядан ташқари ишлар ва 
илмий ва илмий-методик адабиётлар билан мустақил ишлаш имкониятларини 
такомиллаштириш мақсадида педагогик ва ахборот технологиялардан 
фойдаланиш йўлларини аниқлашдан иборат эканлигини кўрсатади. 
Юқорида келтирилган педагог мутахассиснинг сифат кўрсаткичлари 
яъни, компетентликнинг энг зарур компонентларини шакллантиришнинг 
асоси, олий таълим муассасаларида бўлажак ўқитувчиларни тайёрлаш 
давомида яратилиши керак. Бу эса талабаларда мустақилликни шакллантириш 
ва ривожлантириш орқали амалга ошириш мумкин.