Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги мирзо улуғбек номидаги ўзбекистон миллий университети математика факультети

143- чизма. 144-чизма

2.4.3-§ ТУГРИ ЧИЗИККВА НИСБАТАН ГОМОТЕТИК ФИГУРА
Теорема. Тугри чизик нукталарини гомотетик алмашгирилганда улар яна
тугри чизик нукталарига утади, яъни дар кандай тугри чизикка гомотетик
фигура яна тугри чизик булади. Исбот. Гомотетия маркази 5, гомотетия
коэффициента к ф 0 булсин. Бир неча долни текшириб курайлик.
1) Алмаштирилаётган I тугри чизик гомотетия марказидан утади.
Гомотетиянинг таърифига кура, / да ётувчи ихтиёрий М нуктага гомотетик
М' нукта шу I тугри чизикда ётади. Иккинчи томондан, / да ётувчи ихтиёрий
М' нукта учун I да ётувчи шундай М нукта топиш мумкинки, Г [Al]* = М' булади
[М ']* = М экани равшандир/. Демак, бу дол учун теорема тугри булиб, I га
гомотетик фигура шу тугри чизикнинг узидан иборат булади:
2) Берилган I тугри чизик гомотетия марказидан утмайди ва (119-чизма).
а) Аввал к Ф 1 булган долни курайлик. Берилган / тугри чизикнинг ихтиёрий
ва нукталарини олиб, уларга гомотетик мос нукталарни А' ва В' билан белги-
лайликГомотетиянинг таърифига асосан: SA' = k-SA ва SB' = k-SB. (l)
Булардан ^ = S- ^ = k (V) SA SB U ’ тенгликни бза оламиз. (Г) га мувофик,
Агар нуктани узгартмай, нуктани АВ тугри чизик буйича даракатлантирсак,
нуктанинг ихтиёрий вазияти булган Вх нуктага шундай В\ нукта гомотетик
мос буладики, (2) даги каби куйидаги муносабат келиб чикади: А'В[ || АВХ. (2')
(2) ва (2') нинг унг томонлари бир АВ тугри чизикдан иборат булгани учун чап
томондаги А'В' ва А'В] тугри чизиклар устма-уст тушади (чунки А' нуктадан
АВ тугри чизикка параллел килиб биргина тугри чизик утказиш мумкин).
Шунинг
учун берилган АВ (ёки I) тугри чизикнинг ихтиёрий нуктасига гомотетик мос
нукта А'В’ тугри чизикда ётади. Энди А'В' тугри чизикда ётувчи ихтиёрий С'
нукта олсак, АВ тугри чизикда шундай С нукта топиш мумкинки, унда Г[С}* =
С' уринли булади; нуктани топиш учун SC' тугри чизик билан АВ тугри
чизикни кесиштириш керак.1 Г [С ']/ = с булиши равшандир. Демак, АВ тугри
чизикка А'В' тугри чизик гомотетик ва АВ || А'В' булади. б) k = 1 булса, I
тугри чизикнинг хамма нукталари уз-узларига гомотетикдир. Бу долда /
тугри чизикка гомотетик фигура шу тугри чизикнинг узи булади.
3) Агар / тугри чизик гомотетия марказидан утмаса ва булса, / тугри
чизикка гомотетик фигура унга параллел I" тугри чизик булади (119-чизм.а).
Бунинг исботи дам 2-долдаги сингари бажарилади. Натижалар
I. Гомотетия натижасида нур яна нурга алмашади. &>0 булганда
алмашинувчи нур билан унинг образи бир хил йуналишда, & < 0 булганда
улар тескари йуналишда булади. Гомотетия марказидан чиккан нур k^>0
булганда узига, kйуналишли нурга алмашади.
II. Гомотетик алмаштиришда бурчакнинг катталиги узгармайди.
Хакикатан, гомотетияда бурчакнинг томонлари узларига мос равишда
параллел булган нурларга алмашгани учун бурчак узига тенг бурчакка алмашади.
III. Гомотетияда тугри чизикларнинг параллеллиги сацланади. Хакщатан,
агар I || т булса, /' (| / ва т' [| т булгани учун
V || т' булади.
IV. Г омотетик алмаштириш натижасида кесманинг узунлиги | k I марта
узгаради. Хакикатан, & > 0 экан, А'В' \\ АВ булгани учун Д SAB сл /\SA 'B '
(119-чизма) Кесмага гомотетик фигуранинг уша кесмага параллел кесмадан
иборат булиши (ёки у билан бир тугри чизикда ётиши) исбот килинган
теоремадан куриниб туради.
V. Агар нуктага В' нукта гомотетик булиб, ВА ва В'А' тугри чизиклар узаро
параллел булса, В'А' тугри чизик ВА тугри чизикка гомотетик булади. Бундан:
А'В' SA ’ SB' АВ ~~ SA ~ SB А" В" SA" АВ ~~ SA
SB 1 , 0муносабатни ёза оламиз (бу ерда С ва С' нукталар мос равишда ВА ва
В'А' тугри чизикларда ётувчи нукталар булиб, СС' тугри чизик 5 марказдан
утади). Бу эса В А ва В'А' нинг гомотетик эканини курсатади.
Топширицлар
I*. Тугри чизикни гомотетик алмаштирилганда яна тугри чизик досил
булиши дакидаги теоремани бошка йул билан дам исбот килинг.1)
II*. ва нукталар оралигида ётувчи бирор нуктанинг гомотетияси
Л ва В нукталарнинг гомотетиялари А' ва В' нукталар орасида ётишини
исбот килинг.