|
2.3-§ НУкТА АТРОФИДА АЙЛАНТИРИШ (буриш)
2.3.1-§ НУКТА АТРОФИДА АЙЛАНТИРИШ (буриш) ВА УНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ
Текисликнинг бирор нуктаси атрофида йуналиши ва катталиги берилган <р
бурчак микдорида айлантириш деб, бу текисликнинг хар бир М ' нуктаси
учун ОМ' = ОМ Z MOM' = ср (1) талабларга жавоб берувчи М' нуктани мос
келтиришга айтилади (106-чизма). Таърифда айтилган нукта — айлантириш
маркази, ср эса а й л а н т и р и ш б у р ч а г и (баъзан, буриш бурчаги)
дейилади, М' нукта М нуктанинг образи, М нукта эса М' нуктанинг прообрази
дейилади. (1) да айтилган айлантиришни кисцача бундай ёзишга шартлашиб
оламиз: А (Щ = М '. (Г)
Айлантиришнинг асосий
хоссалари
106-чизма
107-чизма
1) А й л а н т и р и ш — х а р а к а т д и р . Дакикатан, 107-чизмада
курсатилганидек, А(Л)§ = Л' ва А(В)1 = В' булса, ундаги АОВ ва А'О В'
учбурчакларнинг тенглигидан АВ — А'Вмаълум булади. Бу эса
айлантиришнинг даракат эканлигини тасдицлайди. Шунинг учун айлантириш
узаро бир цийматли алмаштиришдир.
Натижалар.
I. Айлантириш дар бир кесмани узига тенг иккинчи бир кесмага утказади,
яъни агар А(Л)о = Л ' ва А(5)о = В' булса, АВ кесмадаги ихтиёрий нуктанинг
образи булган С' нукта А'В' кесмада ётади. С' нукта А'В' кесмада ётмайди,
яъни у, А'В' кесмадан ташкарида бирон С* долатни эгаллайди деб фараз
килайлик (108-чизма). Айлантириш даракат булгани учун куйидаги
тенгликлар мавжуд: АС=А'С*, СВ =С*В' ва АВ — А'В'. (1) 108-чизма.
нукта АВ кесмада ётгани учун АВ = АС + СВ. (2) (1) ва (2) га асосан куйидаги
тенглик мавжуд булади: А'В' = А'С* + С*В'. (3) Юкорида килинган фаразга
биноан (С* нукта А 'В ' да ётмагани учун), А'В'С* учбурчак досил булиб,
куйидаги тенгсизлик келиб чикади: А'В' < А'С* + С*В'. (4)
(3) билан (4)нинг бир-бирига зидлиги килган фаразимизнинг нотуррилигини
курсатади. Шунинг учун С' нукта 108-чизмада курсатилган А'В' кесмада
ётиши керак.
108-чизма 109-чизма
II. Айлантириш, тугри чизикни яна тугри чизикка утказади, яъни тугри
чизик нукталарининг образлари дам турри чизик досил килади. Бунинг
туррилигини I натижадаги йул билан исботлашни китобхонга топшириб, биз
эса уни боищачарок йул билан исбот киламиз. Бунинг учун айлантириш
маркази нуктадан шу текисликдаги турри чизикка ОС перпендикуляр
тушириб, бу перпендикулярни нукта атрофида <р бурчак катталигида
айлантирайлик (109-чизма). Натижада ОС перпендикуляр ОС' вазиятга
келади. Сунгра, С' нуктадан ОС' кесмага перпендикуляр килиб а' турри чизик
Утказамиз. а' тугри чизикнинг турри чизик образи булишини исбот киламиз.
Бунинг учун турри чизикда ётган ихтиёрий нуктанинг В’ образи а' турри
чизикда ётишини исбот килинса кифоя. а' турри чизикда СВ кесмага тенгС'В'
кесма ажратайлик. Бундаги В' нукта нуктанинг образи булишини исбот
киламиз. ОС' = ОС ва С'В' = СВ булгани учун тугри бурчакли ОСВ ва ОСВ'
учбурчаклар узаро тенг, бундан: экани маълум булади. Шунинг учун
куйидагини ёза оламиз: Z ВОВ' = Z ВОС' + Z С'ОВ' = Z БОС' + ZCOB = Z СО С= ср.
ОВ' — ОВ ва Z ВОВ' = <р дан нуктага В' нукта мос келиши маълум булади.
Айлантиришда мос тугри чизиклар айлантириш бурчагига тенг бурчак остида
кесишадилар (сабаб?).
III. Айлантиришда хар бир айлана унга тенг айланага алмашади. Бирор
(0,R ) айлананинг марказини ва бу айланадаги ихтиёрий N нуктани М нукта
атрофида бир хил ср бурчак микдорида айлантириб, уларнинг О' ва Л/'
образларини ^осил килайлик (110-чизма). ON ва O'N' кесмалар узаро тенг
.
Демак, берилган (О, R) айланадаги ихтиёрий N нуктанинг образи булган N'
нукта О' нуктадан узгармас O'N' = ON = R масофада, яъни N' нукта (O', R)
айланада ётар экан. Нукта атрофида айлантириш узаро бир кийматли
алмаштириш булгани учун (O', R) айланада ётувчи ихтиёрий К' нукта 110- чизма
айланада ётувчи бирор К нуктанинг образи булади (110- чизма). ОВ' — ОВ ва
Z СОВ = Z С'ОВДемак, берилган (0 ,R ) айланани уз текислигидаги бирор нукта
атрофидаайлантиришдан унга тенг (O', R) айлана досил булади в а б у икки
мос айлананинг марказлари дам узаро мос булади. Шунга биноан, берилган
айланани берилган нукта атрофида бирор <р буочак катталигида
айлантириш учун аввал унинг марказини айлантириб, бу янги марказдан
берилган айлана
радиуси билан айлана чизилади. 2) Б и р нукта атрофида бажарилган хамма
айлантиришлар туплами (о), уларни купайтиришга (кушишга) нисбатан
группа ташкил этади. Хакикатан, 110-чизмада:
I. Агар (Л/)®1 = ]\f' ва A (N ')? = N" булса, ON = ON', Z NON' = ва ON' = ON", Z
N'ON" = cp2 булади. Булардан эса, ON = ON" ва Z NON" = +
ёки A (N)61+*2
e= N" келиб чикади. Бу натижа ихтиёрий N нукта учун тугри булганидан
Al1 + Al* = Л о 1+Т2- (1) Бу эса кетма-кет бажарилган икки айлантириш урнига
учинчи айлантиришни бажариш мумкинлигини курсатади, яъни Ao1+V2
алмаштириш дам а тупламга киради. Демак, а туплам ёпиклик хоссасига эга экан.
И. Каралаётган <з тупламдаги кетма-кет учта алмаштиришни Кушиш
ассоциативлик хоссасига дам эгадир, яъни: Л 0П + (А'о2 + Ло3) = (Л^1 + А'о2)
+ А?. Хакикатан, 111-чизма ва (1) га асосан: A t + 04S2 + А?) = Л о1 + АГ+п = л
0п+1р2+¥3; (ЛГ + Л§3) + Лй3 = Лб1+<р" + А'о3 = Лб1+?!+¥3.
III. Каралаётган тупламда айнан алмаштириш дам мавжуддир, яъни дар
кандай нуктани ноль бурчакка айлантириш-дан уша нуктанинг узи досил
булиб, бу айлантириш дам а тупламга киради ва ихтиёрий ср бурчак учун
Ло + Л° = Ло + Ло = Ло булади.
IV. Каралаётган с тупламдаги дар кандай Ло айлантириш
тескари Л^? айлантиришга эгадир ва у Ло + л г = л£ шартни цаноатлантиради.
Демак, бир нукта атрофида а й л а н т и р и ш л а р т у п л а м и у л а р н и к у
п а й т и р и ш г а нисбатан группа ташкил этади. Бунинг устига а тупламдаги
айлантиришлар коммутативлик (урин алмаштириш) цонунига буйсунади,
яъни ихтиёрий ва <р2 бурчаклар учун Л о1 + ^б2 = Л о2 + Л^1 уринлидир.
3) Уцлари параллел булмаган, кетма-кет баж а р ил г ан и кки та с и мм етрик
а л м а ш т и р и ш нукта. атрофида айлантиришга тенг к у ч л и д и р. Агар
икки тугри чизик ф бурчак остида кесишса, уларга нисбатан кетма-кет
бажарилган симметрик алмаштиришлар шу укларнинг кесишган нуктасига
нисбатан 2ср бурчакка айлантиришга - тенг кучли булади. Бунга ишонч досил
килиш учун 112-чизмада берилган нуктада узаро 9 бурчак досил килиб
кесишувчи ва b уклар текислигида ихтиёрий бир М нукта олиб, унинг l l z
чизма. укца нисбатан топилган М' образини b укка нисбатан симметрик
алмаштириб, М" нуктани топайлик; сунгра, М нуктани нукта атрофида 2бурчак микдорида айлантирганда унинг М" нуктага алмашишини курсатувчи
куйидаги икки шартнинг мавжудлигини чикарсак кифоя: МО = М"0 ва Z
МОМ" = 2 ®. Симметрик нукталарнинг VII бобда айтилган хоссасига м у
вофик, куйидаги тенгликларни ёза оламиз: М О = М'О = М"0,
Z1 = Z 2 ва Z 3 = Z 4. Шунинг учун куйидагилар мавжуд булади: Z (a,b) — Z 2 + Z
3 = Z 1 + Z 4 = ® Z M O M " = ( Z 2 + Z3) + ( Z 1 + Z 4) = cp + «p = 2®
111-чизма 112-чизма
Do'stlaringiz bilan baham: |
