Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги алишер навоий номидаги самарқанд давлат

муҳокама этиш ва шу асосда хулосалар чиқариш муҳим аҳамиятга эга. Ечиш 
усулини муҳокама қилиш, унинг камчиликларини топиш, бошқача усулларини 
излаб топиш, ечишда фойдаланилган усулларни эслаб қолиш ва уларни қўллай 
олиш шартларини аниқлаш каби ишлар, шубҳасиз, ўқувчилар билим савиясини 
оширишда, тафаккурни шакллантиришда ниҳоятда зарур. 
Ностандарт математик масалалар ечиш ўқувчилардан ижодий фаолликни 
талаб этади. Шу сабабдан қуйидаги турдаги масалаларни ечиш ва уларни таҳлил 
этиш уларнинг ижодий қобилиятларини ривожлантиришга хизмат қилади. 
1. 
x
x
x
x
2
cos
cos
2
cos
sin
4
4



йиғинди х га боқлиқ эмаслигини 
исботланг ва унинг йиғиндисини топинг. 

---

Ечиш. 










x
x
x
x
x
x
x
x
2
4
2
4
4
4
cos
2
1
cos
sin
2
1
sin
2
cos
cos
2
cos
sin
1
cos
1
sin
1
)
cos
1
(
)
sin
1
(
2
2
2
2
2
2









x
x
x
x
Худди шундай 
3
2
cos
6
sin
4
3
2
cos
6
4
4
2





x
x
x
x
сos
ифода ҳам х га боғлиқ эмаслигини кўрсатиш таклиф этилади. 
2. 
с
а
с
с
в
в
в
а
а
В
булса
а
с
с
в
в
а
а
с
с
в
в
а
А














99
19
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
ни топиш керак. 
Ечиш. 
x
b
a


, 
y
c
b


, 
z
a
c


деб олсак 
xyz
x
y
z
x
y
z
А
)
)(
)(
(




)
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
y
x
z
c
x
z
y
b
z
y
x
a









га тенг бўлади. У ҳолда 
99
133
99
19
2
1
2
3
)
)(
)(
(
2
1
2
3
)
(
)
(
)
(
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
















































xyz
x
y
z
x
y
z
xyz
xy
y
x
zx
x
z
yz
z
y
z
y
x
y
x
z
x
z
y
z
y
x
y
x
z
x
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
у
х
В
3.
35
12
1
30
11
1
2
2






x
x
x
x
тенгламани ечишда
Махражларни кўпайтувчиларга ажратиб 
.
5
,
6
0
)
7
)(
6
)(
5
(
13
2







x
x
x
x
x
тенглама илдизи топилади. 
4. 


0
1
2
2




y
x
y
x
ни қаноатлантирувчи (х;y)лар тўпламини 
тасвирланг. 
Ечиш. 












0
1
0
0
2
2
y
x
у
х
ёки
у
х
Демак
x
y 
функция ва айлана 
қисмидан иборат 
5. 
99
19
сони нечта натурал бўлувчиларга эга? 
Ечиш. 19- туб сон бўлгани учун 19
99
сони бўлувчилари 
1, 19, 19

99
2
19
,
жами 100 та бўлувчиси бор экан. 
6. 99
99
сонининг бўлувчиларини топамиз
19
38
19
11
3
99


бўлгани учун у 
k
11
ёки 
39
11
3
,
11
3
,
11
3
,
11
38
2




k
k
k
k

бўлувчига эга, k сони 0,1,2,... ,19 ларга 
тенг бўлгани учун жами 
780
39
20


та бўлувчиси борлиги келиб чиқади. 
7. 
3
20
20
sin
4
0
0

 tg
айниятни икки хил усул билан исботланг ва уни 
умумлаштиринг. 
Ечиш. 1-усул. 
)
20
60
sin(
40
sin
20
sin
60
cos
20
cos
60
sin
40
sin
20
sin
2
1
20
cos
2
3
40
sin
20
cos
3
20
sin
20
cos
20
sin
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0















---

2- усул. 
0
0
0
20
60
20
3
tg
tg
tg



0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
sin
4
20
cos
460
sin
2
60
cos
20
sin
60
cos
20
cos
60
sin
20
cos
20
sin
60
cos
60
sin
2







Умумлаштириб sin




3
sin
3
3


tg
сos
айниятда 
0
0
10
20




1
10
3
10
sin
4
3
20
20
sin
4
0
0
0
0




tg
tg
Шундай қилиб, ностандарт мисол ва машқларни муҳокама этиш орқали 
ўқувчилар фаоллигини ошириш ва ва уларда ижодий кўникмаларни таркиб 
топтириш имконияти вужудга келади ва бу янги педагогик технологиялар 
асосини ташкил этади.
Ўқувчига математик исботлаш кўникмаларини шакллантириш кўпроқ юқори 
синфларда муваффақиятли амалга оширилади. Бунда қуйидагиларни эътиборга 
олиш мақсадга мувофиқ биринчидан, ўқувчиларда фикрлаш усуллари ривожланиш 
савияси, иккинчидан, ўрганилаётган материалдан муҳим белгларини ажрата олиш, 
кўникмалари мавжудлиги, учинчидан, олинган билимларнинг ҳажми ва сифат 
даражаси, тўртинчидан, исботлашнинг турли хил усулларидан хабардорлиги, 
шунингдек, исботни ёзма ва сўз билан ифодалай олишидир. 
Исботлаш усулларига ўқувчиларни ўргатиш шунинг учун ҳам зарурки, 
математик мулоҳаза, хулосаларни исботлаш эҳтиёжи билан вужудга келадиган 
тўғри мантиқий мулоҳаза юрита олиш математик қобилятнинг асосий таркибий 
қисмларидан ҳисобланиди. Машҳур рус психологи В.А.Крутецкий ўзининг 
“Ўқувчилар математик қобилятлари психологияси” номли илмий асарида 
ўқувчилар 
математик 
қобилиятларини 
ривожлантиришнинг 
психологик 
жиҳатларига батафсил тўхталган. 
Ўқувчиларда исботлаш кўникмаларини тарбиялаш заруриятининг иккинчи 
томони шундан иборатки, ҳозирги битираётган кўпгина ёшлар математик 
теоремаларнинг исботи зарурлигига, уларга тескари мулоҳазалар ҳақида фикр 
юритишда қийналмоқдалар. Бундан ташқари, ўқувчилар берилган умумий 
математик мулоҳазалардан тўғридан тўғри келиб чиқадиган назарий хулосаларни 
мустақил ифодалашда, назарий йўналишдаги ва исботлашни талаб этувчи 
масалаларни ечишда қийинчиликларга учрайдилар. Ана шу сабабларни ҳисобга 
олган ҳолда ўқувчилар фикрлаш фаолиятларини ривожлантиришнинг таркибий 
қисмлари бўлган масалалар ечиш ва теоремалар исботлаш кўникмаларини 
шакллантиришга алоҳида эътиборни қаратиш лозим, бунинг учун ўқитувчининг 
етарлича илмий методик қуролланганлиги, билим савиясининг ҳозирги замон 
талабларига мос равишда бўлиши талаб қилинади. 
3.Ўқувчилар математик тафаккурини ривожлантиришда квадрат 
тенгламалар илдизларини тадқиқ этишга оид масалалар муҳим аҳамиятга эга.
1-масала. Квадрат тенгламанинг берилган ярим чексиз оралиқдаги 
(нурдаги) илдизлари сонини ёки уларнинг мавжудлигини аниқлаш, ёки 
берилган нурга тегишли илдизларини ажратишга оид масала. 
Ўқувчиларга олдиндан маълумки: 
c
bx
ax
x
f



2
)
(
квадрат учҳад иккита мусбат илдизга эга бўлиши учун 
0
,
0
,
0



a
c
a
b
D

---

шартларнинг бир вақтда бажарилиши зарур ва етарлидир. Амалда бу 
аломатдан қуйидаги кўринишда фойдаланиладилар: 
0
,
0
,
0



ac
ab
D
Бу аломат Виет теоремасидан: 
а
с
х
х
а
в
х
х





2
1
2
1
,
осонлик билан келиб чиқади. 
Энди қуйидаги масалани ифода қилиш мумкин: 
c
bx
ax
x
f



2
)
(
квадрат учҳаднинг
2
1
ва
х
x
илдизлари олдиндан берилган
p
сонидан 
катта бўлиши (яъни 
)
,
(

р
оралиққа тегишли бўлиши) зарур ва етарли 
шартини топинг.
Бу масала «олдингисига келтириш» усули билан ечилиши мумкин. 
Ҳақиқатдан, 
)
(
)
(
p
x
f
x
g


функция ҳам квадрат учҳад бўлади; унинг 
илдизлари 
р
х
р
х


2
1
ва
бўлади, чунки 
c
bp
ap
x
b
ap
ax
c
p
x
b
p
x
a
x
g











2
2
2
)
2
(
)
(
)
(
)
(
бўлганлиги учун бу шарт қуйидаги кўринишини олади: 
0
,
0
)
2
(
,
0
2
1






c
bp
ap
b
ap
a
D
Бу ерда 
)
(
1
x
g
D 
квадрат учҳад дискриминанти. 
)
(
ва
)
(
x
f
x
g
учҳадлар 
бир вақтда илдизларига эга ёки эга бўлмаслигидан, 
0
1

D
тенгсизлик
0

D
тенгсизликка тенг кучли бўлиши келиб чиқади. 
Демак, юқоридаги зарур ва етарли шарт 
0
)
2
(
,
0
)
(
,
0




b
ap
a
p
af
D
кўринишда ифодаланилади. 
Исбот.Зарурлиги. 
)
0
(
)
(

a
x
f
учҳад
p
сонидан катта 
2
1
ва
x
x
илдизларга эга бўлсин. У ҳолда унинг дискриминанти номанфий (чунки 
илдизлар мавжуд), 
,
0
)
(

p
f
чунки
p
сони кичик илдиздан кичик, у ҳолда
2
2
1
x
x
p


ва Виет теоремасига кўра
0
2
яъни
,
2




b
ap
a
b
p
. Шу 
билан зарурлиги тўла исботланади ( 
0

a
учун). 
Етарлилиги.
0
2
,
0
)
(
,
0




b
ap
p
f
D
шартлар бажарилсин. У ҳолда 
2
1
ва
x
x
илдизларга эга ва бу илдизлар турли хил бўлса, 2-тенгсизликдан 
ёки р сони катта илдиздан катта, ёки кичик илдиздан кичик, лекин биринчи 
ҳолда 
a
b
x
x
p
2
2
2
1




га эга бўлган бўлар эдик, яъни
0
2

 b
ap
Бу эса учинчи 
тенгсизликка қарама-қарши. Демак, 
p
иккита илдиздан кичик. Агар илдизлар 
устма-уст тушса,
a
b
x
x
2
2
1



бўлса,у ҳолда 3-тенгсизлик 
0
2

 b
ap
, иккита илдиз ҳам 
p
дан 
катта эканлигини билдиради. 
)
(x
f
квадрат учҳад берилган 
p
сонидан кичик 
иккита (турли хил бўлиши шарт эмас) илдизга эга бўлиши учун қандай зарур 
ва етарли шарт топиш мумкин: Бу масала ечими
0
)
2
(
,
0
)
(
,
0




b
ap
a
p
af
D
шартдан иборат. 

---

Юқорида кўрилган икки масалани қуйидаги масала янада тўлдиради: 
3-масала. 
c
bx
ax
x
f



2
)
(
квадрат учҳад бири берилган сондан катта, 
иккинчиси ундан кичик бўлган илдизларга эга бўлиши учун қандай зарур ва 
етарли шартни ифодалаш мумкин? 
Бу масаланинг ечими
0
)
(

p
af
шартдан иборат. Бу аломатнинг исботи 
оддий қайта ифодалашдан кейин очиқ кўриниб қолади. Учҳаднинг бу 
хоссасир сони илдизлар орасида жойлашишини билдиради, бу аломат эса 
маълум: 
p
нуқтада учҳаднинг қиймати ишораси бош коэффициент ишорасига 
қарама-қарши бўлиши керак.
Шундай қилиб, 
)
(x
f
квадрат учҳад илдизларининг
)
,
(

р
ёки
)
,
(
p

шунингдек 
)
,
[

р
,
]
,
(
p

оралиқларга тегишли бўлишининг зарур ва етарли 
шартларини топишда тадқиқот ўтказиб, квадратик функция хоссаларини 
қўллаш заруриятини туғдиради. Энди квадрат учҳад илдизларининг берилган 
)
,
(
q
p
очиқ чекли оралиққа нисбатан жойлашини кўриб чиқамиз.
Бунда қуйидаги жадвални тузиб чиқиш мумкин.
0

D
)
( p
af
)
2
(
b
ap
a

)
(q
af
)
2
(
b
aq
a

)
,
(
,
,
,
2
1
2
1
q
p
x
x
p
x
x


+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
1
2
x
p
x


+ 
- 
+ 
1
2
,
x
q
p
x


+ 
- 
+ 
1
2
,
x
q
x
p


+ 
+ 
- 
+ 
+ 
1
2
x
q
x
p



+ 
+ 
- 
q
x
x

2
1
,
+ 
+ 
- 
+ 
- 
Бу жадвалда + ва - лар ифодаларининг мусбат ёки манфийлигини 
англатади. Масалан, биринчи ҳолда илдизлар (p,q) оралиққа тегишли бўлмай, 
чапда 
жойлашган 
бўлса, 
яъни 
улар 
p
дан 
кичик 
бўлса,
0
)
2
(
,
0
)
(
,
0




b
ap
a
p
af
D
шартлар бажарилиши зарур ва етарлидир. 
Иккинчи ҳолда р илдизлар оралиғида жойлашиб, q катта илдиздан катта 
бўлса 
0
)
(
,
0
)
(
,
0



q
af
p
af
D
шартларнинг бажарилиши келиб чиқади ва ҳ.к. 
Ўқувчиларга бундай тадқиқот мазмунли масалалар ечиш бир томондан 
функциялар хоссаларини чуқур ўрганишга хизмат қилса, иккинчидан, 
квадрат тенгламаларни тадқиқ этишга оид топшириқларни бажаришда, 
айниқса, параметрга боғлиқ тенгламаларни тадқиқ этишда муҳим омил бўлиб 
хизмат қилади. 
Квадрат тенгсизликларни муҳокама қилишдан олдин юқоридаги тадқиқ 
этилган масалалар натижаларини мустаҳкамлаш мақсадида ўқувчиларга 
таклиф қилинадиган машқларга мисоллар келтирамиз: 
1. m нинг қандай қийматларида
0
2
2
)
1
(
2





m
x
x
m
тенглама 
илдизлари мусбат бўлади? 

---

( Жавоб: 
2
13
1
2


 m
). 
2. k нинг қандай қийматларида (
0
4
3
)
1
2




k
kx
x
k
тенглама 
илдизлари –1 дан катта бўлади? 
3. 
a
- нинг қандай қийматларида 
0
1
)
2
(
4
2
2
2





а
х
а
х
тенглама 
илдизлари 0,5 дан кичик бўлади? 
(Жавоб: 
7


a
). 
4. k нинг қандай қийматларида 
0
4
)
1
(
)
3
2
(
2





y
k
y
k
тенглама 
илдизлари –2 ва 0 орасида ётади? 
(Жавоб: -
17
4
15
,
17
4
15
15





k
k
5. k -нинг қандай қийматларида 
0
4
)
4
7
(
2




x
k
kx
тенглама 
илдизларидан бири 1 ва 2 орасида ётади, иккинчиси 2 дан катта бўлади? 
Тадқиқот масалалари орасида квадрат учҳаднинг ошкормас 
кўринишидан фойдаланишга доир масалалар алоҳида аҳамиятга эга. 
У ёки бу конкрет ифодада квадрат учҳадни кўрмасдан унинг 
хоссаларинидан фойдаланиш қийин. Лекин шу билан бирга қанча 
«ниқобланган» шаклда бўлмасин квадрат учҳадни кўриш қийин эмас, 
бунинг учун уни пайқашга интилиш зарур. 
Кўпинча ўқувчилар квадрат учҳаднинг стандарт кўринишига 
ўрганиб қоладилар, масалан, 
)
3
(
,
2
,
8
3
2
2
2
х
х
а
х
ах
х
х





ифодалар 
квадрат учҳад эканлигини кўра олсаларда, кўпчиллик  
х
а
ах
у
ху
х
2
2
2
2
,
3
2




ифодаларда ёки мураккаброқ 
yz
xy
z
у
х
3
2
3
2
2
2
2




ифодаларда квадрат учҳадни кўра олмайдилар. 
Албатта, квадрат учҳадни кўра олиш кўникмаси масалани ечиш учун 
етарли эмас-бунинг учун яна унинг хоссаларидан фойдалана олиш лозим. 
Лекин бир қатор масалаларда берилган ифодани квадрат учҳад сифатида 
тавсифлаш асосий қийинчиликни ташкил этади. 
2. Қуйидаги тенгсизлик ечимга эгами: 

---

x
х
х
6
8
4
7
9
2
1
1






Ечиш. Бу масалада яна камроқ даражада квадрат учҳад кўринади, лекин 9,4,6 
сонлари 2 ва 3 кўпайтувчилардан иборатлигини ҳисобга олсак, 
х
х
х
х
х
х
х
3
2
6
,
2
2
4
,
3
9
9
2
2
1
2
1








алмаштиришларни эътиборга олиб, 
0
2
14
3
2
8
3
9
2
2







х
х
х
тенгсизликка келамиз. 
Энди 
x
3
ни фикран у, 2
x
ни z орқали белгиласак, олдинги масаладаги у
ва z ларга нисбатан бир жинсли ифодага келамиз. Лекин бу ҳолда 
тенгсизлик билан иш кўраётганимиз учун, унинг ишорасини билишимиз 
керак, 
x
z
4
2

бўлгани учун, бўлишдан сўнг 
z
y
ни t орқали белгилаб 
0
14
8
9
2


 t
t
тенгсизликка келамиз. Бу квадрат учҳад дискриминанти 
манфий ва унинг бош коэффициенти мусбат бўлгани учун, учҳад t нинг ҳар 
қандай қийматида мусбат. Демак, охирги тенгсизлик, шу билан бирга 
берилган тенгсизлик ечимга эга эмас. 
3. Тенгсизликни исботланг: 
са
bс
аb
с
b
а





2
2
2
Ечиш. Берилган тенгсизликни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз: 

---

0
)
(
2
2
2






bс
с
b
с
b
а
а
чап томон 
a
га нисбатан квадрат учҳаддан иборат (бунда
b
ва 
c
параметрлар) ва унинг учун унинг дискриминанти номусбат эканлигини 
ишонч ҳосил қилиш лозим. 
2
2
2
2
2
2
)
(
3
3
66
36
)
(
4
)
(
c
b
c
c
bc
c
b
c
b
D












бўлгани учун берилган тенгсизлик ўринли. 
Бу масалани яна гуруҳлаш усули билан ҳам ечиш мумкин: 
2
2
2
2
2
2
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
с
а
с
b
b
а
са
аb
c
b
а










Лекин гуруҳлаш бу сунъий усул ва агар маълум бир ғоя мавжуд бўлмаса, 
гуруҳлаш муваффақияти –тасодиф ёки зарур натижага эришиш учун қаттиқ 
ҳаракат натижасидир. 
Аксинча ифодани диққат билан таҳлил этиш алмаштириш ғоясини 
топишга ёрдам беради, гуруҳлаш санъатини гуруҳлаш фани билан 
алмаштиришга имкон беради.