Ўзбекистон республикаси навоий кон металлургия комбинати навоий давлат кончилик институти

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ
НАВОИЙ КОН МЕТАЛЛУРГИЯ КОМБИНАТИ
НАВОИЙ ДАВЛАТ КОНЧИЛИК ИНСТИТУТИ
_______________________________________ ФАКУЛТЕТИ
____________________________________________ ФАНИДАН
ҚАЙТА ЎЗЛАШТИРИШ

Бажарди: _____________________________________________

Қабул қилди: __________________________________________


Навоий - 2022
Эхтимоллар назарияси фанининг асосий тушунчалари. Комбинаторика элементлари. Ходисалар алгебраси. Эхтимолнинг классик тарифи. Геометрик эхтимоллик. Шартли эхтимол. Тула эхтимол. Бейес формуласи. Ходисаларнинг богликмаслиги. Тажрибалар кетма- кетлиги. Бернулли схемаси. Энг катта эхтимоллик сони. Пуассон теоремаси. Муавт- Лапласнинг локал ва интеграл теоремаси.

Эҳтимоллар назарияси илк бор қимор ўйинлари оқибатида вужудга кела бошлади. Одамлар аввалига уни фан сифатида эмас бўлган ўйинлардаги ҳолатлар оқибатида тушуниб етдилар.

Эҳтимоллар назарияси — бирон бир тасодифий ҳодисаларнинг рўй бериш эҳтимолига кўра улар билан қандайдир тарзда боғланган бошқа тасодифий ҳодисаларнинг рўй бериши эҳтимолларини топиш билан шуғулланадиган математика соҳаси. Бирор ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли, мас, тенг эканлиги унча аҳамиятли эмас, чунки одам ишончли натижага эришишни хоҳлайди. Шу нуқтаи назардан бирон бир А ҳодиса рўй бериш эҳтимоли 1 га анча яқинлиги (ёки рўй бермаслик эҳтимоли 0 га яқинлиги) ҳақидаги хулосалар катта аҳамиятга эга. Бундай ҳодиса амалда муқаррар рўй бериши ишончли бўлган ҳодиса деб ҳисобланади. Ҳам илмий, ҳам амалий аҳамиятга эга бўлган бундай ҳодисалар, одатда А ҳодиса кўп сонли тасодифий, бир-бири билан суст боғлиқ бўлган омиллар таъсирида рўй беради ёки бермайди, деган фаразга асосланади (қаранг Катта сонлар қонуни). Шунинг учун Эҳтимоллар назариясини кўп сонли тасодифий омилларнинг ўзаро таъсиридан пайдо бўладиган қонуниятларни аниқлайдиган ва ўрганадиган мат. бўлими дейиш мумкин.
Табиатҳуносликда муайян шартлар мажмуи 5 билан шу шартлар бажарилганда рўй берганини ёки рўй бермаганини аниқ айтиш мумкин бўлган А ҳодиса орасидаги боғланиш қонуниятини баён этишда қуйидаги 2 схема ишлатилади: 1) шартлар мажмуи 5 бажарилган ҳар бир ҳолда А ҳодиса рўй беради. Мас, классик механиканинг қонунлари бошланғич шартлар ва жисмга таъсир этувчи кучлар берилганда жисм ҳаракати бир қийматли аниқланишини тасдиқлайди; 2) шартлар мажмуи 5 бажарилганда А ҳодиса маълум Р(А/5)=р эҳтимол билан рўй беради. Мас, радиоактив нурланиш қонунлари ҳар бир радиоактив модда учун берилган вақт оралиғида бу модда Н та атоми емирилишининг маълум эҳтимоли борлигини тасдиқлайди. Иккинчи схема билан ифодаланувчи қонуниятлар статистик қонуниятлар дейилади. Туғилиш ва ўлим билан боғлиқ статистик қонуниятлари ҳам (мас, ўғил туғилиши эҳтимоли 0,515 эканлиги) аввалдан маълум. 19-аср охиридан бошлаб физика, кимё, биология ва бошқалар фанларда кўплаб статистик қонуниятлар кашф этилади. Турли соҳалардаги статистик қонуниятларни Эҳтимоллар назарияси усуллари билан ўрганиш ҳодисаларнинг эҳтимоллари ҳамма вақт баъзи оддий муносабатларни қаноатлантиришга асосланган. Шу оддий муносабатлар асосида ҳодисаларнинг рўй бериш эҳтимоллари хоссаларини ўрганиш Эҳтимоллар назарияси предметини ташкил қилади.
Ўзбекистонда Эҳтимоллар назарияси 20-аср 20- йилларидан бошлаб В.И.Романовский ташаббуси ва бевосита иштироки билан ривожлана бошлади. Т.А.Саримсоқов, С.Х. Сирожиддинов, Т.А. Азларов, Ш.К. Фармонов, А.Н. Нагаев, Н.У. Ғофуров, Т.М. Зупаров каби олимларнинг Эҳтимоллар назариясига оид тадқиқотлари муҳим аҳамиятга эга. Ҳозирги кунда Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика мат.нинг энг тараққий этган тармоқларидан биридир.
Бир қатор амалий масалаларни ечиш учун берилган то’пламдан унинг қандайдир хоссага эга бо’лган элементларини танлаб олиш ва уларни ма’лум бир тартибда жойлаштиришга то’г’ри келади.
Таъриф. Бирор чекли тўплам элементлари ичида ма’лум бир хоссага эга бўлган элементларидан иборат қисм тўпламларни танлаб олиш ёки тўплам элементларини ма’лум бир тартибда жойлаштириш билан бог’лиқ масалалар комбинаторик масалалар дейилади.

Масалан, ўнта ишчидан тўрт кишидан иборат бригадаларни неча хил усулда тузиш мумкинлигини (ишлаб чиқаришни ташкил этиш), молекулада атомлар қандай усулларда бирлашиши мумкинлиги (кимё), оқсил моддаларда аминокислоталарни қандай тартибларда жойлаштириш мумкинлиги (биология), турли блоклардан иборат механизмда бу блокларни турли тартибларда бирлаштириш (конструкторлик), бир неча дала участкаларида турли хил экинларни алмаштириб экиш (агрономия), давлат буджетини ишлаб чиқариш тармоқлари бўйича тақсимоти (иқтисодиёт) кабилар комбинаторик масалаларга келади ва комбинаторикани инсон фаолиятининг турли ёналишларида қўлланишини ко’рсатади.

Таъриф. Комбинаторик масалалар билан шуг’улланадиган математик фан комбинаторика дейилади.
Комбинаторикани мустақил фан сифатида биринчи бо’либ олмон математиги Г.Лейбнитс о’рганган ва 1666 йилда “Комбинаторика санъати ҳақида” асарини чоп этган.
Комбинаторикада қўшиш ва ко’пайтириш қоидаси деб аталувчи иккита асосий қоида мавжуд.
Эҳтимоллар назарияси ҳозирги замон математикасининг муҳим, тезлик билан ривожланиб бораётган тармоқларидан биридир. Эҳтимоллар назарияси ХВИИ аср ўрталаридан вужудга кела бошлаган.Бу даврда қимор ўйинлари жуда кенг тарқалган бўлиб, бу ўйин йирик олимларнинг этиборини ҳам ўзига жалб қилди. Бу ўйинларда кузатилаётган ҳодисалар ўзига хос қонуниятларга бўйсунишини билган Гюйгенс, Паскал, Ферма, Я.Бернули каби олимлар бу қонунларни ўргандилар ва эҳтимоллар назариясига оид эҳтимол, математик кутилма ва шунга ўхшаш тушунчаларни киритдилар.
Эҳтимоллар назариясининг кейинги босқичидаги ривожи Муавр,Лаплас,Гаусс,Пуассон каби олимларнинг номлари билан боғлиқ. Эҳтимоллар назарияси ривожида рус математик олимлари В.Я.Буняковский. П.Л.Чебишев, А.А.Марков, А.М.Ляпуновларнинг хизматлари каттадир. В.Я.Буняковскийнинг Россияда биринчи бўлиб 1908 йилда ёзган эҳтимоллар назариясидан дарслиги эҳтимоллар назариясига бўлган қизиқишнинг ортишига туртки бўлди.
Ҳозирда бу дарслик Ўзбекистон Миллий кутубхонасида сақланмоқда.
Ҳозирги вақтда эҳтимоллар назарияси билан шуғулланувчилар сони ортиб бормоқда.
Бунга ва математик статистикага бағишланган журнал ва китоблар кўплаб чоп этилмоқда.
Эҳтимоллар назарияси ва математик статистиканинг методлари оммавий хизмат кўрсатиш назарияси, ишончлилик назарияси, назарий физика, биология, география, лингвистика, об-ҳавони ўрганиш, иқтисодиёт ва бошқа соҳаларида қўлланилади.
Дейлик, узаро боглик булган А ва В ходисалар каралаетган булиб, Р(А) ва Р_А(В) уларнинг эхтимоллари булсин. Бу ходисаларнинг биргаликда руй бериш эхтимолини куйидаги теорема ердамида аниклаш мумкин.
Теорема. Иккита боглик ходисанинг руй бериш эхтимоли улардан бирининг эхтимоли шу ходиса руй берди деб фараз килингандаги иккинчи ходисанинг шартли эхтимолининг купайтмасига тенг:

Р(АВ)=Р(А)ЧР_А(В).

Исботи. Куйидагича белгилишлар киритайлик:

1. 
   А ходиса руй берадиган еки руй бермайдиган жами элементар натижалар сони.
   

n₁-тажрибада А ходиса руй беришга кулайлик тугдирувчи натижалар сони

1. 
   тажрибада А ходиса руй берди деган фаразда В ходиса руй берадиган элементар натижалар сони, яъни бу натижалар АВ ходисанинг руй беришига кулайлик тугдиради (mЈn₁)
   

А ва В ходисанинг биргаликда руй бериш эхтимоли:
Р(АВ)= m/n=n₁/nЧm/n₁ , n₁/n=P(A), m/n₁=P_A(B) эканлигини эътиборга олиб хосил киламиз: P(BA)=P(A) ЧP_B(A) ни хам исботлаш мумкин.
Агар боглик ходисалар бир нечта булса
Р(А₁А₂А₃А₄А₅А₆А₇...А_n)=P(A₁)ЧP (A₂)...P (A_n)
Жумладан,
Р(АВС)=Р(А)ЧР_А(В)ЧР_АВ(С).
Мисол. Кутида 3 та ок ва 7 та кизил галтак бор. Тикувчи таваккалига битта галтак кейин яна битта галтак олди. Олинган галтаклардан биринчиси ок иккинчиси кора булиш эхтимолини топинг.
Ечилиши. А- ходиса деб биринчисининг ок чикишини белгилайлик: Р(А)=3/10
В- иккинчисининг кора чикиш ходисаси булсин, у холда Р_А(В)=7/9
Изланаетган эхтимол, боглик ходисаларнинг эхтимолларини хисоблаш коидасига кура
Р(АВ)=Р(А)ЧР_А(В)=3/10Ч7/93=7/30
2-мисол. Кутида 5 та ок, 4 та кора, 3 та кук шар бор булсин. Хар бир тажриба кутида 1 та шар олишдан иборат. Олинган шар кайтиб куйилмайди. Биринчи синашда ок шар (А), иккичисида кора (В), учинчисида кук шар чикиш (С) эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Р(А)=5/12, Р_А(В)=4/11, Р_АВ(С)=3/10.
Демак, Р(АВС)= Р(А)ЧР_А(В)ЧР_АВ(С)=5/12Ч4/11Ч3/10=1/22
Натижа. Агар Р_В(А)№0 булса, Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А);
булади.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   https://poisk-ru.ru/s30844t10.html
   
2. 
   https://foydali-fayllar.uz/yerning-kimyoviy-tarkibi/#google_vignette
   
3. 
   https://uz.wikipedia.org/wiki/Geokimyo