Ўзбекистон республикаси алоқа ахборотлаштириш ва телекоммуникация технологиялари давлат кўмитаси

23-MA’RUZA. Ikki karrali integral (ta’rifi va misollar, ikki karrali integral, integrallash tartibini o‘zgartirish).
REJA:
1. Ikki karrali integralga olib keladigan masalalar.
2. Ikki karrali integral va uning xossalari.
3. O’rta qiymat haqidagi teorema.
4. Integralning chegaralanganligi haqidagi teorema.


1. Ikki karrali integralga olib keladigan masalalar
Ikki karrali integral tushunchasi matematik analizning muhim tushunchalaridan bo’lib, uning yordamida yuzalar, jismning massasi, hajmi, og’irlik markazi, inertsiya momenti va shunga o’xshash kattaliklarni aniqlash mumkin.
Masala:

sohada funktsiya berilgan bo’lsin.
1) va kesmalarni tadan bo’lakka bo’lib to’rtlikni to’rtlikka bo’lamiz.
yuzachalarga ega bo’lamiz. uzunlikka ega .
2) Har bir yuzadan nuqta olamiz.
3) Har bir nuqtada funktsiya qiymatini hisoblaymiz.
Huddi bir karrali integral kabi integral yig’indi tuzamiz.

4 ) ,

(23.1)
(23.1) ifoda funktsiya uchun integral yig’indi deyiladi.
Agar da (23.1) -fodaning limiti nuqtaning tanlanishiga bog’liq bo’lmay mavjud bo’lsa, u holda bu limit ( ) sohada funktsiyaning ikki karrali integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi.

Agar bo’lsa, u xolda

sohaning yuzini beradi. - yuza elementi.

2). Faraz qilaylik koordinata tekisligida bir jinsli bo’lmagan moddadan tashkil topgan qalinligi 1 birlik bo’lgan yassi D plastina berilgan bo’lsin. CHizmadagidek plastinaning har bir nuqtasidagi zichligi , ikki argumentli funktsiya bilan berilgan bo’lsin. SHu plastina massasini hisoblash masalasini qaraylik. Buning uchun (D) sohani x va u o’qlariga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar bilan bo’laklarga bo’lamiz .

SHtrixlangan bo’lak yuzasi

, , ,
Umumiy massa

Agar da bo’lganda yig’indi mavjud bo’lsa, u holda

bo’ladi (mexanik ma’nosi) . formula faqat 1 jinsli misollar uchun o’rinli.