Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

 
ГЕОМЕТИРИК ШАКЛЛАРНИНГ ФРАКТАЛ ЎЛЧОВЛАРИ 
Ж.С.Жаббаров (докторант, Самарқанд давлат университети) 
 
Фрактал геометриянинг асосий ғояларидан бири борлиқда ўлчовлар 
миқдори учун бутун бўлмаган қийматлар ғоясидир. Б.Мандельброт бутун 
бўлмаган ўлчов 2.76 ни фрактал ўлчов деб номлади [
Mandelbrot B.B.
1982:1]. 
Бундай борлиқнинг хусусияти нуқталар, чизиқлар, бурчаклар, учбурчаклар, 
кублар, сфералар, тетраэдрлар ва бошқаларни беради. 
Фрактал геометриянинг асосий ғояларидан бири борлиқда ўлчов миқдори 
учун бутун бўлмаган қийматлар ғоясидир. Б.Манделъброт бутун бўлмаган 
ўлчовларни 
“Фрактал ўлчов”
лар деб атади [
Мандельброт Б.Б
.
2002
:2].

---

70 
Фазода топологик ўлчов деб, 
T
D
 чизиқли мустақил координаталар сонига 
айтилади 
[
Мандельброт Б.Б
.
2002
:2, 
Балханов В.К. 2013:3, Кроновер Р.М. 
2001:4
]
. 
Хаусдорф-Безикович ўлчови 
.
1
ln
)
ln(
lim









k
N
d
k
(1) 
Бу ўлчовни бир-биридан фарқли равишда 
Хаусдорф-Безикович
аниқлаганлар [
Божокин С.В., Паршин Д.А. 2013:4, Морозов А.Д 1999:6
]. 
Юқоридаги ўлчов бошқа ўлчовлардан касрлилиги билан фарқ қилади.
Юқоридагиларни инобатга олган ҳолда классик геометрик фракталларнинг 
ўлчовларини қараб чиқамиз. 
1.
Учбурчакнинг балантлигининг ўртасини бўлинган ҳолда, фрактал ўлчов:
1-қадам 
1
1

N
,
;
1
1


2-қадам 
4
2

N

;
3
1
2


 
3-қадам 
16
3

N

;
9
1
3


4-қадам 
64
3

N

;
27
1
3


....................................................................................................... 
n-қадам
да 
n
n
N
4

n
n
3
1


 
га тенг бўлади
. 
У ҳолда учбурчакнинг 
(балантлигининг ўртаси) фрактал ўлчови қуйидагига тенг: 

---

71 
.
26186
.
1
3
ln
4
ln
3
1
1
ln
)
4
ln(
lim
1
ln
)
ln(
lim
























n
n
n
N
D


(2) 
Юқорида келтирилган (1-3) формулалардаги 


ўхшашлик коэффициенти, 

N
ҳосил бўлган нусхалар сони. 
2.
Учбурчакнинг тамонинг ўртасини бўлинган ҳолда, фрактал ўлчов:
1-қадам 
1
1

N
,
;
1
1


2-қадам 
4
2

N

;
3
1
2


 
3-қадам 
16
3

N

;
9
1
3


4-қадам 
64
3

N

;
27
1
3


....................................................................................................... 
n-қадам
да 
n
n
N
4

n
n
3
1


 
га тенг бўлади
. 
У ҳолда учбурчакнинг 
(балантлигининг ўртаси) фрактал ўлчови қуйидагига тенг: 
.
26186
.
1
3
ln
4
ln
3
1
1
ln
)
4
ln(
lim
1
ln
)
ln(
lim
























n
n
n
N
D


(3) 
Юқорида келтирилган (1-3) формулалардаги 


ўхшашлик коэффициенти, 

N
ҳосил бўлган нусхалар сони. 
Фрактал ўлчов асосида геометирик шаклларнинг ўлчовларини ўрганишда 
фракталлар тушунчаси, Б.Мандельброт тарифи, Хаусдорф-Безикович ўлчови, 

---

72 
фрактал ўлчови тушунчалари келтирилди. Шунингдек, бир қанча геометрик 
шаклларнинг фрактал ўлчовлари ҳисоблаб чиқилди. Фрактал ўлчовни 
аниқлашда Хаусдорф-Безикович ўлчовларидан натижалар такрорланишнинг 
ҳар бир қадами учун ҳисобланди ҳамда график кўринишга келтирилди. 
Фрактал ўлчовлар асосида табиатдаги баъзи геометирик шаклларнинг 
ўлчовларини ўлчашда фракталлардан фойдаланиб ижобий натижалар олиш 
мумкин. 
Адабиётлар
 
1.
Mandelbrot B.B
.
The Fractals Geometry of Nature. – N.Y.: Freeman, 1982. - 468 p.
2.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.: Институт 
компьютерных исследований, 2002. – 656 с 
3.
Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления. Отв. ред. 
Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2013. – 224 с.
4.
Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – М.: Ижевск: РХД, 2001
.
5.
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах // – М.: Постмаркет, 2000. 
6.
Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Нижний Новгород: НижГУ, 1999.