Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

x
va 
y
noma’lum hadning yig‘indisining daraja ko‘paytmasi biz 
hisoblayotgan yoyilma tenglamasiga teng ekanligi ma’lum. Ushbu tenglamalar 
yoyilmasida paydo bo‘ladigan raqamlar binomial koeffitsiyentlar deb nomlanadi va 
ularni hisoblashning oddiy matematik formulasi mavjud. 
, 
va hokazo sonlar binomial koeffitsiyent deb ataladi. Bu 
koeffitsiyentlani qo‘shish amalidan foydalanib, quyidagi usul bilan hosil qilish 
mumkin. Yuqoridagi satrga ikki marta 1 yoziladi. Undan keyin satrlarning hammasi 1 
bilan boshlanadi va 1 bilan tamomlanadi. Ular orasidagi sonlar esa o‘zidan oldingi 
satrga qo‘shni sonlarni bir-biriga qo‘shish yo‘li bilan hosil qilinadi. Masalan ikkinchi 
satrga ikki soni birinchi satrning ikkita 1 sonini qo‘shish bilan hosil bo‘ladi. Uchunchi 
satr esa ikkinchi satr sonlaridan quyidagicha hosil qilinadi: 1+3=4; 3+3=6; 3+1=4; va 
hokazo. Bir satrdagi sonlar o‘sha satr nomeridan iborat dartajaning binomial 
koyfissentlaridir. Quyidagi keltirilgan sxema Paskal uchburchagi deb ataladi. 2-расмда 
биринчи 7та қатор келтирилган.
2-rasm. Paskal sonlar 
s-tartibli 
kengayishdagi 
umumlashtirilgan 
Paskal 
uchburchagining
x
-darajasining umumiy formulasini quydagocha beramiz. 


 
1
2
1
1
,
2.
0
n
s
s
n
n
x
x
x
x
s
k s
k


 
  




(4) 
s-tartibli umumlashgan binomial koeffitsientlar 
 
n
k s
deb yozsak bo‘ladi. 
Umumlashtirilgan binomial koeffitsiyenti 
 
n
k s
, 
m
ta o‘xshash elementlarni 
n
ta 
katatklarga joylashtirishning har xil usullari soni va har bir katakchada 
1
s

ta element 
bo‘lishi kerak.

---

6 
Agar 
2
s

, binomial koeffitsiyent quydagicha bo‘ladi: 
   
.
2
n
n
k
k

(5) 
Binomial koeffitsiyent uchun rekkurent formula hosil qilinadi: 
     
1
.
1
n
n
n
k
k
k
 


(6)
     
1
1
1
n
n
n
k
k
k
 



, 
 
0
1.
0

(7) 
Tenglamalar quyidagicha shakllantiriladi: 
   
1,
0
n
n
n


   
n
n
k
n k


,
(8)
 
2 ,
n
n
n
k
k


 
( 1)
0.
n
m n
k
k



(9) 
Umumlashtirilgan binomial koeffitsiyentlar o‘rtasidagi rekkurent munosabat 
s
bo‘yicha quyidagi ko‘rinishga ega: 
 
  
.
1
0
s
n
n
n
k
m
k
m k
s
k
 



Bu yerda 
2
s

, 
m
k
s

da 
 
0
k
m k s


. 
s
- 
tartibli 
umumlashtirilgan 
binomial 
koeffitsiyentlarini 
binomial 
koeffitsiyentlar orqali quydagicha ifodalash mumkin: 
 
 


 

/
1
1
1
0
m s
k
n
n
n
m
sk
m
k
n
k
 






(11) 
Paskal uchburchagini bo‘yash orqali quyidagilar olishimiz mumkin: 
-
Barcha toq sonlar qora; 
-
Barcha juft sonlar oq. 
Serpin uchburchagiga o‘xshash geometrik naqsh olinadi (3-rasm). Ko‘proq 
qatorlarni hisobga olinsa, Serpin uchburchagi haqida batafsil ma’lumotlar paydo 
bo‘ladi (4- rasm) 
3-rasm. Paskal 
uchburchagini
ng birinchi 15 
qatori 2
1
ga 
bo‘linishiga 
qarab 
ranglangan 
4-rasm. 
Paskal 
uchburchagidagi 
birinchi 32 ta satr 
2 ga bo‘linishiga 
qarab ranglangan 
Masalan, 5 dan maksimal darajada foydalanilsa, uni mod5 arifmetikasi deb 
ataladi. Mod5 arifmetikasida 0, 1, 2, 3 va 4 raqamlari ishlatiladi. 3 ni 3 ga qo‘shib 5ga 
bo‘linganda qoldiq 1ga teng. Agar arifmetik mod 3 bo‘lsa, 2 ni 2 ga qo‘shilganda 
qoldiq 1, lekin 1 qo‘shish 12ga teng va hokazo. Ushbu qonuniyat orqali bir nechta turli 
xil mod raqamlari uchun qo‘shimcha jadvallarni ko‘rishingiz mumkin.
“Fractal GeneratorUZ” nomli dasturiy vosita.
Python dasturlash tili orqali 
yuqorida taklif etilgan va takomillashtirilgan algoritmlar asosida murakkab turdagi 
fraktal shakllar chizildi. Ijobiy natijalar olinganidan so‘ng mavjud taklif etilgan va 

---

7 
takomillashtirilgan algoritmlar asosida PyCharm muhitida Python dasturlash tilidan 
foydalanib dasturiy vosita ishlab chiqildi. Modulli arifmetikaning bir yaxshi tomoni 
shundaki, javoblarning cheklangan soni mavjud. Agar mumkin bo‘lgan har bir javobga 
rangni tayinlasa, unda uchburchak rangli nuqta yoki doiralar qatori sifatida taqdim 
etilishi mumkin. Ko‘pchiligimiz raqamlarning o‘ziga qaraganda, bunday rasmdagi 
naqshlarni izlash uchun yanada jozibali. Quyidagi rasmlarda Paskalning uchburchagi 
3, mod 4 va mod 5 qo‘shimchalaridan foydalanib, rangli doiralarning massivlari 
sifatida ifodalangan dastlabki qatorlari ko‘rsatilgan. Ushbu raqamlarda qizil 0, qora 1, 
yashil 2, ko‘k 3, sariq rang 4 ga teng. Va 7-rasmda keltirilgan natijalar olingan.
7-rasm.
Paskalning uchburchagi Mod 3 
27 qator 
Paskal uchburchagi Mod 4 
32 qator 
Paskal uchburchagi Mod 5 
50 qator 
Paskal uchburchagi asosidagi algebraik tuzilmalar va tub sonlar nazariyasi 
hisobga olgan holda fraktal ko‘rinishdagi tasvirlarda geometrik almashtirishlar 
(koʼchish, burish, masshtablash va akslantirish) qo‘llagan holda murakkab tuzilish 
fraktal shakllarga ega bo‘lamiz. Natijalar 8-9 - rasmlarda keltirilgan. 
8-rasm. Fraktal shakllar
9-rasm. Fraktal shakllar 
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, Paskal uchburchagi va boshqa arifmetik 
uchburchaklar asosida olingan fraktallar, shuningdek umumlashtirilgan arifmetik 
grafikalarning xossalari o‘rganib chiqildi va natijalari keltirildi. Shu bilan birgalikda 
Paskal uchburchagini Serpin uchburchgiga o‘xshashlik xususiyatlari o‘rganildi. 
Yaratilgan murakkab tuzilishli fraktal shakllarni gilam naqshlari dizaynida qo‘llash 
mumkin.
Adabiyotlar 
1. B.A.Bondarenko. Generalized Pascal Triangles and Pyramids, their Fractals, Graphs, and 
Applications – USA, Santa Clara: Fibonacci Associations, The Third Edition. – 2010. – 296 s
. 
2. Anarova Sh.A., Ibrohimova Z. E., Narzulloyev O.M. and Qayumova G.A., Mathematical 
modeling of Pascal triangular fractal patterns and its practical application // Springer Nature 
Switzerland AG 2021, IHCI 2020, LNCS 12615, pp. 390–399, 2021.