Ўзбекистон бадиий академияси

R
y
R
x



(2) 
ya‟ni 
2
2
2
)
2
(
)
2
(
R
x
R
y



ni aniqlab uni (1) ga qoʻyish bilan va ba‟zi bir 
soddalashtirishdan soʻng 
2
2
R
Rx
z


(3) tenglamaga ega boʻlamiz. Bu 
tenglamadan maʻlum boʻlishicha hosil boʻlgan kesishuvdagi egri chiziq parabola 
tenglamasini ifodalaydi. Demak, bizning misolimizda umumiy simmetriya 
tekisligiga ega boʻlgan oʻzaro kesishuvchi shar va silindirning kesishuv 
chizigʻining frontal proyeksiyasi parabola egri chizigʻi boʻladi. Bu parabola 
ХОZ
koordinata tekisligida tegishli boʻlib, 
ОХ
oʻqiga nisbatan simmetrik 
joylashgan boʻlib, uning fokal parametri 
p=R
boʻladi. Parobola uchi 
Аʻʻ
kordinata boshidan chap tomonga 
R
2
masofada joylashgan boʻladi. Parobolaning 
Bʻʻ, Cʻʻ
silindir va shar sirtlarining frontal konturlariga tegishli boʻladi. 
Sirtlarining kesishuv chiziqning gorizantal proyeksiyasi silindir aylanasi bilan 
ustma-ust tushadi.
Kesishuv chiziqning profil proyeksiyasini aniqlash uchun (1) ва (2) 
tenglamalar tizimidagi (2) tenglamadan 
х
ni miqdorini 
2
)
2
(
2
2
R
y
R
x



ni 
aniqlab uni (1) tenglamasi qoʻyilib baʻzi bir soddalashtirishlar bajarilsa,
2
2
2
2
)
2
(
2
y
R
R
R
z



(4) sirtlarning kesishuv chizigʻining 
ZOY
tekislikdagi 
profil proyeksiyasi hosil boʻladi. (4) tenglamani har ikkala tomonini kvadratga 
koʻtarib irratsionallikni yoʻqotib baʻzi bir soddalashtirishlar bajarilganda 

---

26 
0
2
2
2
2
4



y
R
z
R
z
(5) tenglamani hosil qilamiz. Bu toʻrtinchi darajali tenglama 
berilgan silindir va shar sirtlarining 
ZOY
koordinata tekisligidagi kesishuv 
chizigʻi boʻladi. Bu egri chiziq toʻrtinchi tartibli boʻlib Viviani nomi bilan 
yuritildi 
Viviana egri 
chizigʻini 
parametrik 
tenglamasi 
u
R
x
2
2
cos

u
u
R
y
cos
sin

u
R
z
cos


koʻrinishda boʻladi. Yuqorida keltirilgan qonun va 
qoidalar asosida sirtlarning oʻzaro kesishuv chiziqlarini yasashda grafa-analitik 
usullardan foydalanib masalalar yechish talabalarning matematika va grafika 
fanlarini chuqur oʻrganishlarda yordam beradi deb oʻylaymiz. 
Agar kesishuvchi ikkinchi tartibli ikki sirt umumiy simmetriya tekisligiga 
ega boʻlsa, u holda ularning kesishish chizigʻi simmeriya tekisligida ikkinchi 
tartibli chiziq boʻlib proyeksiyalanadi.
Umumiy simmetriya tekisligiga ega boʻlgan ikkinchi tartibli ikkita 
Ф
1
2
 
va 
Ф
2
2
 
sirtlar berilgan boʻlsin. U holda, ular oʻzaro kesishib
m
4
=Ф
1
2
∩Ф
2
2
toʻrtinchi tartibli egri chiziq hosil boʻladi. Sirtlarning simmetriya tekisligi 
ularning kesishish chizigʻining ham simmetriya tekisligi boʻladi. Agar toʻrtinchi 
tartibli egri chiziq cimmetriya tekislikka perpendikulyar boʻlgan biror tekislik 
bilan kesilsa, unda toʻrtta nuqta hosil boʻladi. Kesishuvda qatnashgan 
nuqtalardan bir jufti simmetriya tekisligining bir tomonida, ikkinchi jufti uning 
ikkinchi tomonida yotadi. Bu nuqtalar ham simmetrik joylashgan boʻlib, ular 
toʻrtinchi tartibli egri chiziqning ular simmetriya tekisligiga nisbatan simmetrik 
joylashgan nuqtalari boʻladi. Shuning uchun ularning simmetriya tekisligidagi 
ortoganal proyeksiyalari ustma-ust tushadi.
Toʻrtinchi tartibli egri chiziqning barcha nuqtalari shu tarzda 
proyeksiyalansa, ikkinchi tartibli egri chiziq hosil boʻladi. Bu teoremaning 
isbotini analitik usulda ham koʻrish mumkin. Umumiy frontal simmetriya 
tekisligiga ega boʻlgan aylanma konus va sfera berilgan boʻlsin. Bu sirtlar 
ikkinchi tartibli boʻlgani uchun ular toʻrtinchi tartibli egri chiziq boʻyicha 
kesishadi, yani
Ф
К
2
 ∩Ф
ш
2
 =m
4
 
boʻladi. 

---

27 
2-misol. Maʻlumki 
kx
z

yasovchi toʻgʻri chiziq 
Oz
oʻqi atrofida aylantirilsa, 
aylanma konus sirti hosil boʻladi (21-rasm). U holda bu konusning tenglamasi 
)
(
2
2
2
2
y
x
k
z


(1) koʻrinishda yoziladi. Markazi 
Ox
oʻqi boʻyicha 
t
masofaga 
siljigan sferaning tenglamasini 
2
2
2
2
)
(
R
z
y
t
x




(2) koʻrinishida yozish 
mumkin. (1) va (2) tenglamalar birgalikda bitta sistemaga keltirib yechilsa, ular 
konus bilan sfera sirtlarining kesishish chizigʻini ifodalaydi:










2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
R
z
y
t
x
y
x
k
z
(3)
Keltirilgan (3) tenglamalarning birinchisidan 
2
y
ni aniqlab uning qiymatini 
ikkinchi tenglamaga qoʻyib, baʻzi bir soddalashtirishdan soʻng kesishish 
chizigʻini
XOZ,
yaʻni 
V 
proyeksiyalar tekisligidagi (simmetriya tekisligidagi) 
proyeksiyasining tenglamasi quidagicha boʻladi:
2
2
2
2
2
2
)
(
R
z
x
k
z
t
x





(4)
Baʻzi soddalashtirishlardan soʻng (4) ni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:
)
(
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
t
R
k
k
x
k
tk
z





(5)
Bu yerda 
q
t
R
k
k
p
k
tk





)
(
1
,
1
2
2
2
2
2
2
(6)
deb belgilansa, bu tenglamani 
q
px
z


2
2
(7) koʻrinishda yozish mumkin. Bu 
esa, parabola egri chiziqning tenglamasini ifodalaydi. Natijada 
V
proyeksiyalar 
tekisligiga parallel boʻlgan umumiy simmetriya tekisligiga ega boʻlgan aylanma 
konus va sfera sirtlari kesishish chizigʻining 
XOZ
tekislikdagi proyeksiyasi (7) 
parabola ekanligi aniqlanadi. Parabola uchining kordinatasini aniqlashda (5) 
tenlamada 
z=0
deb olinadi. Bunda parabola uchun uning uchi 
t
R
t
x
2
2
2
0


nuqtada (8) boʻladi. Agar
t=0
деб olinsa, sferaning markazi aylanma konus 
uchi bilan bir nuqtada boʻlib, (5) tenglamaning koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
2
2
2
2
1
k
k
R
z


(9) yoki,
.
1
2
k
Rk
z



(10) 

---

28 
Bu tengalama (10) ikkita parallel toʻgʻri chiziq tenglamasini ifodalaydi. Bu 
holda (5) parabola frontal tekisligida ikki parallel toʻgʻri chiziqqa ajralgan 
boʻladi, yaʻni toʻrtinchi tartibli egri chiziq toʻgʻri chiziq proeksiyalangan ikkita 
aylanaga ajraladi. Haqiqatdan, umumiy oʻqqa ega boʻlgan ikki aylanma sirt 
doim aylanalar boʻyicha kesishadi.