Занятие №10 Основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Вид занятия: лекция (12)

4.1 Распределение «хи-квадрат» ( - распределение)
Пусть Χ_i (ί = 1, 2, ..., n)—нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи­дание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице.
Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы
Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.
Плотность этого распределения

(4.1)
где - гамма-функция, в частности .

Отсюда видно, что распределение хи-квадрат опре­деляется одним параметром — числом степеней свободы k.
С увеличением числа степеней свободы распределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.
Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ= ½ и k = n/2 – 1.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:
( 4.2)
Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ= ½ .
Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределении определяется через специальные неполные табулированные гамма-функции

(4.3)
Применение системы уравнений (4.3), использующей табулированные (табличные) неполные гамма-функции, позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, имеющей хи-квадрат распределение.

Н
f(x)
а рис.4.1. приведены графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение при n = 4, 6, 10.
Рис.4.1. а) Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

Рис.4.1. б) Графики функции распределения при хи-квадрат распределении

4.2 Распределение Стьюдента
Пусть Z – нормальная случайная величина, причём
а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы. Тогда величина:

(4.4)
имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),

с k = n - 1 степенями свободы (n- объём статистической выборки при решении задач статистки).
Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.


Плотность распределения Стьюдента: