Законы сохранения в механике статика и гидродинамика механические колебания и волны основы термодинамики

величина, измеряемая отношением потенциальной энергии 
взаимодействия основного и введенного в поле пробного заряда к 
величине пробного заряда:
φ = 
W
q
q

.
 
(7.11)
Потенциал точечного заряда 
q
определяется следующим образом:
 
 
 
ϕ
ε
=
⋅
k
q
r
.
 
(7.12)
Пользуясь понятием потенциала найдем работу, совершаемую при 
перемещении заряда 
q
1 
с расстояния 
r
1 
на расстояние 
r
2
от заряда 
q
,
создающего электрическое поле:
 
A = W
1
 – W
2
или 
A q
q
k q
r
k q
r
=
=
−
⋅
−
⋅






1
1
2
1
1
2
ε
ε
ϕ
ϕ
(
)
. 
(7.13)
В этом выражении разница φ
1
– φ
2
является разницей потенциалов 
между точками, называется электрическим напряжением и записывается 
следующим образом:
U
= φ
1
– φ
2
.
(7.14)
φ
1
φ
2
2
1
Е
1
> 
Е
2
φ
1
> φ
2
+
Рис. 7.8.
Е
1
> 
Е
2
, φ
1
< φ
2
2
1
φ
1
φ
2
–
Единица измерения потенциала и разность 
потенциалов называется 
Вольт 
(В) в честь 
итальянского ученого Вольта. Из формулы φ
 
= 
W
q
следует, что 1В = 
1Дж
1Кл
Это значит, что разность 
потенциалов точек 
равняется 1 вольту, когда 
заряд, равный 1 кулону, при перемещении из одной 
точки электрического поля в другую выполняет 
работу, равную 1 Дж.
Потенциалы 
точек, 
расположенных 
на 
одинаковых расстояниях от точечного заряда, 
равны. Если эти точки соединить между собой, 
образуется 
поверхность, 
которая 
называется 
эквипотенциальной поверхностью
.
Эквипотенциальная 
поверхность 
точечного 
заряда располагается вокруг заряда в виде 
сконцентрированных кругов (рис. 7.8). Силовые линии поля проходят 
перпендикулярно к экви потенциальной поверхности.

---

122
Межу напряженностью электрического поля и разностью потенциалов 
существует следующее соотношение:
 
Е = 
ϕ ϕ
1
2
−
d
, 
(7.15)
где
d –
расстояние между точками, потенциал которых равен φ
1
и φ
2
. 
Отсюда получаем единицу измерения напряженности поля 1
B
M
.
Образец решения задачи.
В металлическую сферу радиусом 5 см, висящую в воздухе, подали 
заряд 30 нКл. Нужно найти потенциалы поля в точках, находящихся в 2 
см от центра заряженной сферы, на поверхности сферы и удаленной от 
поверхности на расстояние 5 см.
Д а н о :
Ф о р м у л а :
Р е ш е н и е :
q
= 30 нКл = 30 · 10
–9
Кл
r 
= 5 см = 5 · 10
–2
м
r
1
= 2 см = 2 · 10
–2
м
r
2
= 5 см = 5 · 10
–2
м
k 
= 9 · 10
9
Н · м
2
/Кл
2
φ
внутр 
= φ
поверх.
= 
=
k
q
r
φ
внеш.
= 
=
k
q
r r

2
φ
внутр. 
= φ
поверх.
= 9 · 10
9 
30 10
5 10
9
2
5400
⋅
⋅
−
−
=
B
;
φ
внеш. 
= 9 · 10
9
· 
30 10
5 10
5 10
9
2
2
⋅
⋅
+ ⋅
−
−
−
=
=2700 В.
Единица измерения:
[φ] = 
Н
 · 
м
2
Кл
2
· 
Кл
м
 ·
Н
 · 
м
Кл
2
·
Дж
Кл
В.
Ответ:
5400 В; 2700 В.
Найти: 
φ
внутр. 
– ?
φ
поверх. 
– ?
φ
внеш.
 
– ?
1. Напишите выражение, связывающее работу, выполняемую 
электростатической силой и потенциальной энергией при 
перемещении заряда в поле.
2. Как определяется потенциальная энергия заряда, помещенного в 
электрическое поле?
3. Найдите потенциал электрического поля на расстоянии 5,3 · 10
–11
м от 
протона. Чему равна потенциальная энергия электрона, вращающегося
таком же расстоянии от протона?

---

123
Тема 33.
РАБОТА, ВЫПОЛНЯЕМАЯ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ 
ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Физические величины, введенные в механике (перемещение, сила, 
выполненная работа силы, потенциальная энергия) используются при 
описании любого фундаментального взаимодействия, в том числе 
электромагнитного взаимодействия.
Работа 
А
силы тяжести, выполненная при перемещении тела в 
однородном гравитационном поле (
g
= const) по 
g
→
на расстояние 
h
расчитывается по формуле 
A = mgh 
(рис. 7.9).
A
= 
mgh 
A
= 
qЕh
q
h
q

E
m
m

g

E

g
Рис. 7.9.
Выполненная работа при перемещении заряда +
q
в однородном 
электрическом поле (
Е
→
= const) по силовым линиям поля равна:
 
A
q
= 
qЕh
(7.16)
Эта формула действительна при соответствии напряженности 
электрического поля с направлением перемещения.
Рассмотрим случаи, когда их направления не соответствуют.
При перемещении электрического заряда 
q 
(в случае 
q
> 0), введенного 
в однородное электрическое поле, в направлении электрического поля или 
в обратном направлении (в случае 
q 
< 0,) электрическое поле выполняет 
работу. Для вычисления работы расположим ось 
Х
в одном направлении с 
напряженностью поля (рис. 7.10).

---

124
Рис. 7.10.
Y
O
Х
Δ
x
2
Δ
x
1
Δ
x
α
S
N
М
B
S
1
S
2

E
Сила, действующая со стороны поля на 
заряд с положительным знаком, тоже будет 
направлена вдоль оси 
Х
. Если заряд в поле 
под воздействием силы 

F
= 
q

E
перемещен из 
точки 
N
в точку 
M
на расстоянии 
S
выполненную для перемещения заряда 
работу электрической силы можно найти по 
следующей формуле:
 
A
=
F · s
· cos
α 
= 
q
· 
Е
· 
s
· cosα. 
(7.17)
Здесь 
α
– угол между силой и перемещением.
Учитывая, что Δ
x
= 
x
2
– 
x
1
= 
s
· cos
α,
урав-
нение (7.17) примет вид:
 
A = qЕ
Δ
x.
 
(7.18)
Теперь вычислим выполненную работу при перемещении заряда 
q
по 
ломаной линии 
NBM
в электростатическом поле. Поскольку работа является 
скалярной величиной, работа, выполненная для перемещения 
NBM
, равна 
алгебраической сумме работ, выполненных на отрезках 
NB
и 
BM
A
= 
A
1
+ 
A
2
.
Работы 
А
1
и 
А
2
при перемещении заряда будут определены как 
выполненная работа при перемещении заряда на расстояние 
NM
, т.е.
 
 
 
 
A
1
= 
qЕ
Δ
x
1
и 
A
2
= 
qЕ
Δ
x
2
. 
(7.19)
Здесь Δ
x
1
и Δ
x
2
соответственно проекции на ось 
Х
векторов перемещения 
s
1
и 
s
2 
. В формулу (7.18) подставим (7.19) и получим:
A
= 
qЕ
(Δ
x
1
+ ∆
x
2
) = 
qЕ
Δ
x.
Из этого следует, что выполненная работа при перемещении заряда 
в однородном электрическом поле не зависит от формы траектории 
перемещения, а зависит только от расстояния между начальным и 
конечным местоположением заряда (т.е. от Δ
x – 
величины перемещения 
разяда). Такое поле называется 
потенциальным полем. 
Значит, 
электростатическое поле является потенциальным полем. Поэтому 
выполненная работа при перемещении заряда в электростатическом поле 
по закрытому контуру постоянно равняется нулю. Сила, работа которой не 
зависит от траектории движения, называется