|
2. Konas va uning kesimlari
3-ta'rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(9)
ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa , u konus deb ataladi. Bu tenglamada a≥b>c, c>0 munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Konus tenglamasidan ko'rinib turibdiki, u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir. Bundan tashqari, agar nuqta konusga tegishli bo'lsa, va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqdagi har bir nuqta konusga tegishlidir. Haqiqatan ham, bu to'g'ri chiziqqa tegishli nuqta ko'rinishga ega va bevosita
tenglikni tekshirib ko'rish mumkin.
Konusning har bir yasovchisi bu ellipsni bir marta ( faqat bitta nuqtada) kesib o'tadi. Konusda yotuvchi va bu xossaga ega bo'lgan chiziqlar konusning yasovchisi deyiladi. Bu ellipslarning markazlaridan o'tuvchi to'g'ri chiziq konusning o'qi deyiladi.
Yuqoridagi kanonik tenglamada konusning o'qi bilan ustma-ust tushadi. Koordinata boshi ham konusga tegishli, konusning hamma yasovchilari bu nuqtadan o'tadi. Konusning hamma yasovchilari o'tuvchi nuqta uning uchi deb ataladi.
4-ta'rif. Konusni uning uchidan o'tmaydigan tekisliklar bilan kesish natijasida hosil bo 'Igan chiziqlar konus kesimlar deyiladi.
2-teorema. Aylanadan boshqa hamma konus kesimlar tekislikda berilgan nuqtagacha bo'lgan masofasining berilgan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofasiga nisbati 0 'zgarmas bo 'Igan nuqtalaming geometrik 0 'midir.
Isbot. Konusni CC tekislik bilan kesganimizda hosil bo'lgan chiziqni bilan belgilaylik. Konusga ichki chizilgan va# tekislikka urinuvchi sferaning tekislik bilan kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. Ichki chizilgan sfera konusga aylana bo'ylab urinadi. Bu aylana yotuvchi tekislikni ct) bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli ixtiyoriy M nuqta olib, undan o'tuvchi yasovchi bilan CO tekislikning kesishish
.
5-chizma
nuqtasini В bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli M nuqtadan ОС va tekisliklar kesishishidan hosil bo'lgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar o'tkazamiz. Sferaga M nuqtadan o'tkazilgan urinmalar kesmalari bo'lgani uchun FM = BM tenglik o'rinli bo'ladi. Berilgan M nuqtadan tekislikkacha bo'lgan masofani bilan belgilasak,
tengliklar o'rinli bo'ladi.
Bu yerda tekisliklar orasidagi burchak, konus yasovchi va CD tekislik orasidagi burchak, Д nuqta esa M nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushirilgan peфendikulyaг asosidir. Yuqoridagi tengliklardan
munosabatni olamiz. Bu munosabatdan ko'rinib turibdiki, nisbat M nuqtaga bog'liq emas. Teorema isbotlandi.
Konus kesim uchun F nuqta uning fokusi 8 to'g'ri chiziq esa direktrisa deyiladi. Yuqoridagi nisbat 1 dan kichik yoki teng bo'lganda konus kesimning hamma nuqtalari fokus bilan birgalikda direktrisaning bir tarafida yotadi. Haqiqatdan ham direktrisaning boshqa tarafida yotuvchi M' nuqta uchun
tengsizlik o'rinli bo'ladi. Agar yuqoridagi nisbat 1 dan katta bo'lsa, direktrisaning har ikkala tarafida konus kesimga tegishli nuqtalar bor. Demak, bu holda konus kesim ikki qismdan iborat.
Biz bilamizki, agar bo'lsa konus kesim ellips bo'ladi. Biz III bobda bu faktni isbotlaganmiz. Agar bo'lsa, konus kesim parabola bo'ladi. Konus kesim uchun bo'lsa, u giperbola bo'ladi.
Biz III bobda o'rgangan ikkinchi tartibli chiziqlarning(ellips, parabola va giperbola) har biri ikkinchi teoremaga ko'ra, konusning birorta tekislik bilan kesishishidan hosil bo'lar ekan. Bu faktni algebraik metod bilan isbotlash ham mumkin.
Konusni tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kessak, kesimda yarim o'qlari mos ravishda
kattaliklarga teng bo'lgan ellips hosil bo'ladi. Agar biz konusni tenglamalar orqali aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda yarim o'qlari mos ravishda
kattaliklarga teng bo'lgan giperbolalar hosil bo'ladi. Konus kesimda parabola hosil bo'lishini ko'rsatish uchun, uni tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kesamiz. Natijada kesimda
tenglama bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli chiziqni hosil qilamiz. Koordinatalar sistemasini almashtirish yordamida bu tenglamani
ko'rinishga keltirsak, uning parabola ekanligini ko'ramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
