Zahiriddin muhammad bobur nomli

3. PARABOLOIDLAR
5-ta'rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(10)
ко 'rinishda yozish mumkin bo 'Isa , и elliptik paraboloid deb ataladi. Bu

6-chizma.
tenglamada munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Elliptik paraboloidning tenglamasidan ko'rish mumkinki, koordinata boshi unga tegishli, tekisliklari elliptik paraboloidning simmetriya tekisliklari bo'ladi. Elliptik paraboloidni tenglama orqali aniqlangan tekislik bilan kessak, bo'lganda kesimda yarim o'qlari mos ravishda kattaliklarga teng bo'lgan ellips hosil bo'ladi. Elliptik paraboloidni tenglamalap orqali aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda fokal parametrlari mos ravishdap ,q kattaliklarga teng bo'lgan parabolalar hosil bo'ladi. Bu parabolalarning uchlari mos ravishda

nuqtalarda joylashgan. Bu xossalarni hisobga olib, elliptik paraboloidni chizmada tasvirlashimiz mumkin.
6-ta'rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(11)
ко 'rinishda yozish mumkin bo 'Isa, и giperbolik parabo­loid deb ataladi. Bu tenglamada , munosa­ batlar bajarilishi talab qilinadi.

7-chizma.
Giperbolik paraboloid ham tekisliklarlarga nisbatan simmetrik joylashgandir. Agar giperbolik paraboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, bo'lganda kesimda yarim o'qlari mos ravishda kattaliklarga teng bo'lgan giperbola hosil bo'ladi. Agar bo'lsa,
kesimda haqiqiy o'qiQx o'qqa, mavhum o'qiOy o'qqa parallel va yarim o'qlari mos ravishda kattaliklarga teng bo'lgan giperbola paydo bo'ladi. Kesuvchi tekislik л:Оу tekisligi ustma-ust tushsa, kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq hosil bo'ladi.
Giperbolik paraboloidni o'qiga parallel tekisliklar bilan kessak kesimda parabolalarni olamiz.

8-chizma.
Masalan kesuvchi tekislik x = h tenglama bilan berilsa, kesimda fokal paramedian q ga teng va uchi nuqtada bo'lgan parabola hosil bo'ladi.

1-teorema. Giperbolik paraboloid chiziqli sirt bo'lib, uning har bir nuqtasidan paraboloidda yotuvchi ikkita to'g'ri chiziq o'tadi.
Isbot. Giperbolik paraboloidga tegishli nuqtadan o'tuvchi va

tenglamalar bilan aniqlangan to'g'ri chiziq paraboloidda yotishi uchun
tenglik parametrning har bir qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikni

ko'rinishda yozib, undan

tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklardan yo'nalish uchun

munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda tenglik bajarilgan.
Demak, giperbolik paraboloidning har bir nuqtasidan unda yotuvchi ikkita to'g'ri chiziq o'tadi. Bu to'g'ri chiziqlarning parametrik tenglamalarini
(12)
ko'rinishda yozish mumkin. Bu parametrik tenglamalarda

munosabat bajarilsa,

bo'lganda (5)to'g'ri chiziqlar z = 0 tekislikni kesib o'tadi. Bu tekislikda
(13)
tenglamalar bilan aniqlanuvchi to'g'ri chiziqlar ham yotadi. Demak, (12) to'g'ri chiziq (13 ) to'g'ri chiziqlarning bittasini kesib o'tadi. Buni aniqlash uchun (12) ifodalami (13) tenglamalarga qo'ysak

tenglikni olamiz. Demak, (5) to'g'ri chiziq
(14)
to'g'ri chiziqni kesib o'tadi. Bu to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini

ko'rinishda yozish mumkin. Yuqoridagi (12) va (14) to'g'ri chiziqlar kesishish

nuqtasida kesishadi va bu nuqtaga parametrning

qiymati mos keladi.
Agar belgilashni kiritib, (13) to'g'ri chiziqning parametrik
Tenglamalarini


ko'rinishda yozish mumkin.
Agar

bo'lsa, giperbolik paraboloidning (12) tenglamasidan tenglik kelib chiqadi. Demak, bu holda (13) to'g'ri chiziq tekislikda yotadi. Yuqoridagi keltirib chiqarilgan xossalarni quyidagicha yozishimiz mumkin.