Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat

III – lemmain isboti. Kompaktlar orasidagi masofa funksiyasini ko‘rib chiqiladi (2.3);

Bu funksiya to‘plam uzluksizdir. ga ekvivalent tengdur. Shuning uchun (2.1.4) sonlar ketma-ketligi borligini bildiradi, shunda va
Demak, ( )ning chekliligini hisobga olsak, bundan kelib chiqadi funksiya ta'rifidagi yuqori chegaraga (2.1.2) erishiladi.
A funktsiyaning darajalar to‘plamini ko‘rib chiqamiz :

Bu to‘plam ochiq ekanligini ko‘rsatamiz va shuning uchun ham Borel, har qanday ijobiy raqam uchun . Bu Borel[23] funktsiyasini bildiradi ma’nosida o‘lchanadi.
Musbat raqamini aniqlang va ixtiyoriy nuqtani olamiz . Demak, bu nuqta uchun tengsizlik . funksiyaning uzluksizligi bundaylarni mavjudligini kafolatlaydi nuqtaning qo‘shnisi shunday bo‘lsinki, tengsizlik bacha uchun, ya’ni barcha uchun amal qiladi . ochiq to‘plamni bildiradi, bu 3-lemmaning isbotini to‘ldiradi.
III.Asosiy teorema
Kerakli shartlarni tuzamiz (2.1.1),(2.1.2) tenglama yechimining terminalga kafolatlangan qisqarishi bir guruh boshlang‘ich pozitsiyasidan
Teorema.O‘yin parametrlari (2.1.1),(2.1.2) bo‘yicha (2.1.3) shart qanoatlangan deb faraz qilamiz. Aytaylik, moment borki yoki va barcha ruxsat etilgan boshqaruv elementlari uchun , tengsizlik.
(2.1.6)
Shunda differensial o‘yin vaqtida tugashi mumkun.
Teoremaning isboti.Teoremaning farazlarini qanoatlantiradigan momentini tuzamiz.Avval ishni tahlil qilaylik.
3-lemmaga ko‘ra, hal qiluvchi funktsiya ga nisbatan o‘lchanadi Borel va hamma uchun yoqilgan:

Bu Borel bilan o‘lchanadigan tarzda ga bog‘liq va ga uzluksizdir
Kuratovski va Ryl-Nardzewski [24,25] o‘lchanadigan selector teoremasi bo‘yicha, bundan kelib chiqadiki, bu Borel o‘lchanadigan selektorga ega, ya’ni Borel o‘lchanadi akslantirish shunday
(2.1.7)
uchun. Xuddi shu teoremadan biz mavjud degan xulosaga kelishimiz mumkun a Borel o;lchanadigan akslantirish uchun

barcha uchun.
Faraz qilaylik, qochib ketayotgan o‘yinchi integral cheklovni qanoatlantiradigan oralig‘ida ixtiyoriy Lebeg o‘lchanadigan boshqaruvidan foydalanadi

Teoremaning (2.6) faraziga ko‘ra, shunday holat mavjud
(2.1.8)
Ta’qibchining nazorati oralig‘ida
(2.1.9)
Ta’qib qiluvchining nazorati uchun bunday tanlov qonuni(aslida) qarshi nazoratdir.Borel va Lebeg o‘lchanadigan funktsiyalarning superpozitsiyasi o‘lchanadigan bo‘ladi Lebeg funksiyasiga muvofiq [23]. Shuning uchun (2.1.9) shu tarzda tuzilgan nazorati o‘lchanadi Lebesgga ko‘ra, o‘zboshimchalik bilan o‘lchanadigan nazorat uchun.
Ta’qibchi boshqaruvining bunday tanlovi bilan yechim (2.1.1) to‘g‘ri keladi terminal to‘plam vaqtida o‘rnatilgan:






Bu tenglik yechimning terminallar t’plamiga qisqarishini isbotlaydi:
Shun tarzda tuzilgan boshqaruv elementi (2.1.9) (2.1.2) integral cheklovni qanoatlantirishini tekshirib ko‘ramiz.


ishi ham xuddi shunday ko‘rib chiqiladi, bu holda ta’qibchining nozarati oralig‘ida
(2.1.10)
Avvalgidek, shuni ko‘rsatish mumkinki, bu holda boshqaruv (2.1.10) keltirish (2.1.1) terminal to‘plamiga vaqtida( har qanday ruxsat etilgan uchun) qisqarishini kafolatlaydi. va boshqaruv elementlari (2.1.2)integral cheklovni qondiradi. Teorema isbotlandi.
Izoh. Teoremani umumiy integral holatiga osongina kengaytirish mumkun nazorat cheklovlari
(2.1.11)
va simmetrik va musbat aniq matritsalardir mos ravishda, va o‘lchanadigan funksiyalar, va musbat sonlar, ishorasi transpozitsiyani bildiradi.

Differensial o‘yinni (2.1.1), (2.1.11) asl ko‘rinishiga oladi
(2.1.12)
Ushbu shaklda teorema to‘liq yuqoridagi umumiy holatga o‘tadi.
2.2. Hal qiluvchii funksiya yordamida kecikuvchi argumentli chiziqli diffеrеnsial o‘yinningquvish