|
Задача 8. Страхователь в возрасте 43 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на два года (норма доходности – 9%.)
Определите:
Единовременную нетто-ставку на случай смерти двумя способами:
используя данные таблицы смертности;
используя коммутационные числа.
2. Годовую нетто-ставку;
3. Брутто-ставку (единовременную и годовую), если нагрузка составляет 15%;
4. Брутто-премию (единовременную и годовую), если страховая сумма – 30 тыс. руб.
Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти по таблице смертности необходимо использовать формулу:
NP = (VP - EP) / EP
где NP - единовременная нетто-ставка, VP - величина единовременного взноса (страховой премии), EP - математическое ожидание страхового случая (смерти страхователя) выраженное через величину единовременного взноса.
EP можно вычислить как сумму произведений числа доживших до возраста х лет (lx) на вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (qx) на каждом возрасте:
EP = ∑lx * qx
Согласно таблице смертности, на возрасте 43 лет число доживших до этого возраста составляет lx = 86182, а вероятность умереть в течение предстоящего года жизни - qx = 0.01012. Таким образом, математическое ожидание страхового случая равно:
EP = lx * qx = 86182 * 0.01012 = 872.22
Для расчета единовременной нетто-ставки по коммутационным числам необходимо использовать формулу:
NP = (VP - EP) / Dx
где Dx - коммутационное число на возрасте страхователя (43 года).
Согласно таблице коммутационных чисел, на возрасте 43 лет коммутационное число Dx = 3149.16.
Для расчета единовременной нетто-ставки нам также нужно знать величину единовременного взноса (страховой премии), которую страхователь должен заплатить за этот договор страхования. Пусть страховая сумма - 30 тыс. руб. Тогда величина единовременного взноса составит:
VP = 30 000 * (1 + 0.09) = 32 700 руб.
Используя данные таблицы смертности:
NP = (VP - EP) / EP = (32 700 - 872.22) / 872.22 ≈ 36.60
Используя коммутационные числа:
NP = (VP - EP) / Dx = (32 700 - 3149.16) / 3149.16 ≈ 9.38
Для определения годовой нетто-ставки необходимо единовременную нетто-ставку, рассчитанную в предыдущем пункте, разделить на 2 и добавить к ней норму затрат на управление, равную 3%.
Годовая нетто-ставка = (Единовременная нетто-ставка / 2) + 3%
Используя данные таблицы смертности, годовая нетто-ставка будет:
Годовая нетто-ставка = (1 - (1 + q43)/(1 + i)^2) / (2 * v43)
где q43 - вероятность смерти в возрасте 43 лет (из таблицы смертности), i - норма доходности, v43 - коэффициент дисконтирования для возраста 43 лет (из таблицы коммутационных чисел).
Подставляя значения, получим:
q43 = 0,01012 i = 0,09 v43 = 0,99061
Годовая нетто-ставка = (1 - (1 + 0,01012)/(1 + 0,09)^2) / (2 * 0,99061) + 0,03 = 0,0602 или 6,02% (округляем до сотых).
Используя коммутационные числа, годовая нетто-ставка будет:
Годовая нетто-ставка = Dx / Nx + 3%
где Dx - коммутационное число для возраста 43 лет, Nx - число выживших до возраста 43 лет (из таблицы коммутационных чисел).
Подставляя значения, получим:
D43 = 3149,16 N43 = 34065,06
Годовая нетто-ставка = 3149,16 / 34065,06 + 0,03 = 0,0999 или 9,99% (округляем до сотых).
Таким образом, годовая нетто-ставка для данного договора страхования на случай смерти составляет 6,02% при использовании таблицы смертности и 9,99% при использовании коммутационных чисел.
Для расчета брутто-ставки нам необходимо использовать данные из таблицы 1 и таблицы 2.
Для начала определим сумму страхового возмещения, которое будет выплачено в случае смерти страхователя в течение 2 лет. Для этого нам необходимо найти сумму вероятностей выживания страхователя на протяжении 2 лет и умножить ее на страховую сумму, которая указана в договоре страхования.
Возраст страхователя - 43 года, поэтому мы будем использовать данные из строк 43 и 44 таблицы 1:
qx = 0.98988 (вероятность дожить до 44 лет)
px = 1 - qx = 0.01012 (вероятность умереть в течение года жизни)
Чтобы найти сумму вероятностей выживания в течение 2 лет, нам нужно перемножить вероятности выживания на каждый год:
P(живым через 2 года) = qx * (1 - q44) = 0.98988 * (1 - 0.98909) = 0.01076
Страховая сумма не указана в условии задачи, поэтому для примера мы будем использовать сумму 1 миллион рублей. Тогда сумма страхового возмещения составит:
Страховое возмещение = 1,000,000 руб. * 0.01076 = 10,760 руб.
Теперь мы можем рассчитать единовременную брутто-ставку:
PV = Страховое возмещение / (1 + i)^n
где i - норма доходности, n - количество лет
i = 9% = 0.09 (норма доходности) n = 2 (количество лет)
PV = 10,760 / (1 + 0.09)^2 = 9,365.29 руб.
Так как нагрузка составляет 15%, то единовременная брутто-ставка будет равна:
Единовременная брутто-ставка = PV / (1 - нагрузка) = 9,365.29 / (1 - 0.15) = 11,012.69 руб.
Наконец, чтобы рассчитать годовую брутто-ставку, мы можем просто разделить единовременную брутто-ставку на количество лет страхования:
Годовая брутто-ставка = Единовременная брутто-ставка / количество лет = 11,012.69 / 2 = 5,506.35 руб.
Для определения брутто-премии (единовременной и годовой) необходимо использовать формулы:
Единовременная брутто-премия: Cx = Sx * px
Годовая брутто-премия: Cx / (1 + i)
где:
Cx - коммутационное число для возраста x, рассчитанное по таблице 2;
Sx - страховая сумма;
px - вероятность дожить до возраста x+1, рассчитанная по таблице 1;
i - норма доходности (в данном случае 9%).
Подставляя известные значения, получаем:
Единовременная брутто-премия: C43 = Sx * px = 30 000 * 0,98988 = 29 696,4 руб.
Годовая брутто-премия: C43 / (1 + 0,09) = 29 696,4 / 1,09 = 27 247,52 руб.
Do'stlaringiz bilan baham: |
